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Hallo ich hänge bei dieser Aufgabe....

zu a) ich glaub dass das umschreiben von Laplaceoperator nicht wörtlich nehmen ist oder ??? reicht es wirklich schon ?

wäre ja dann:

Δ = ∂2/ ∂x2 +  ∂2/ ∂y2 + ∂2/ ∂z(Laplace)

Kugelkoordinaten: Δ = 1/r2 * ∂/∂r (r2 * ∂/∂r) + 1/r 2 sin ϑ * ∂/∂ ϑ (sin ϑ ∂/∂ ϑ) + 1/r 2 sin2ϑ * ∂2/∂ φ 2

sehe aber aber keine Symmetrie zur Angabe! Muss dazu die Angabe auch in kugelkoordinaten angeschrieben werden??

zu b) komm ich auf das el Feld innen und außen wieder mit Gauß???

Lg und Danke!!

von

1 Antwort

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Hallo,

bei Aufgabe a) reicht die Angabe des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten:

Δ=1/r^2*d/dr (r^2*d/dr) +Δφ,θ

Mit Δφ,θ meine ich die gesamten winkelabhängigen Terme.

Da die Kugelhomogen geladen ist, lautet die Ladungsverteilung:  ρ(r)=ρ0*Θ(R-r)

Θ(R-r) ist die Heaviside Funktion, diese sorgt dafür, das die Ladungsdichte nur im inneren der Kugel vorhanden ist.

Da  ρ(r)=ρ0*Θ(R-r) unabhängig von φ,θ ist, kann man den winkelabhängigen Teil des Laplace-Operators weglassen.

Δ=1/r^2*d/dr (r^2*d/dr)

b) Als Poisson-Gleichung ergibt sich

1/r^2*d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=-4*π*ρ0*Θ(R-r)

Fallunterscheidung: r<R -->

1/r^2*d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=-4*π*ρ0

d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=-4*π*ρ0*r^2 beide Seiten integrieren

r^2*d/dr Φ(r)=-4/3*π*ρ0*r^3+C

d/dr Φ(r)=-4/3*π*ρ0*r+C/r^2 wieder Integrieren

Φ(r)=-2/3*π*ρ0*r^2-C/r+D

Da aber im Ursprung (r=0) keine Singularität auftreten darf, folgt C=0

Φi(r)=-2/3*π*ρ0*r^2+D

2.Fall: r>R Laplace-Gleichung

1/r^2*d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=0

d/dr (r^2*d/dr Φ(r))=0

r^2*d/dr Φ(r)=G

d/dr Φ(r)=G/r^2

Φ(r))=-G/r+H

Für r-->∞ sollte das Potential verschwinden (also 0 werden) -->H=0

Φa(r))=-G/r

Berechnung des E-Felds:

innen Ei(r)=-grad Φi(r)=-d/dr Φi(r)*er=-4/3*π*ρ0*r*er

außen Ea(r)=-grad Φa(r)=-d/drΦa(r)*er=G/r^2*er

Das E-Feld soll für r=R stetig sein

-->Ei(R)=Ea(R)

-4/3*π*ρ0*R=G/R^2

--> G=-4/3*π*ρ0/R=G

PS: Welches EInheitensystem verwendet ihr? Normalerweise lautet die Poisson-Gleichung in SI

ΔΦ=-ρ/ε0

von 2,4 k

Hallo, habe vergesen dir zurückzuschreiben! Sorry!!


bin das alles nochmal mit meinem Prof durchgegangen, deine Herleitung passt perfeckt! Er meinte mehr müssen wir erstmal nicht wissen!!


Vielen Dank!!

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