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Eine geladene Kugel (q=6,0*10-9As; m=0,4g) hängt an einem l=1,50m langen Faden. In einem homogenen elektrischen Feld wird die Kugel um x=12mm ausgelenkt.

a) Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ladung, die die Kugel besitzt.

b) Berechnen Sie den Betrag der Feldstärke des homgenen Feldes.

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Bestimmung des Vorzeichens der Ladung

Im gegebenen Szenario wird eine geladene Kugel in einem elektrischen Feld ausgelenkt. Die Richtung der Auslenkung ist direkt abhängig von der Richtung des elektrischen Feldes und dem Vorzeichen der Ladung auf der Kugel. Elektrische Felder üben eine Kraft in Richtung der Feldlinien auf positive Ladungen und entgegen der Feldlinien auf negative Ladungen aus.

Da die Kugel nach einer Seite ausgelenkt wird, muss das elektrische Feld horizontal gerichtet sein. Wird die Kugel in Richtung des Feldes ausgelenkt, bedeutet dies, dass die Ladung positiv ist. Würde sie entgegen der Feldrichtung ausgelenkt, wäre die Ladung negativ. Die Aufgabenstellung gibt jedoch keinen direkten Hinweis auf die Richtung der Feldlinien oder die spezifische Auslenkungsrichtung der Kugel relativ zu diesen Feldlinien. Aufgrund dieser Informationssituation können wir lediglich sagen, dass:

- Wenn das Feld nach rechts zeigt und die Kugel ebenfalls nach rechts ausgelenkt wird, ist die Ladung positiv.
- Wenn das Feld nach links zeigt und die Kugel nach rechts ausgelenkt wird, ist die Ladung negativ.

Ohne spezifische Informationen über die Richtung des elektrischen Feldes können wir das Vorzeichen der Ladung nicht definitiv bestimmen.

Berechnung des Betrages der Feldstärke

Um den Betrag der elektrischen Feldstärke \(E\) zu berechnen, nutzen wir die Tatsache, dass die elektrische Kraft \(F_{el}\), die auf die geladene Kugel wirkt, gleich der Komponente der Gewichtskraft ist, die senkrecht zum Faden steht, wenn die Kugel ausgelenkt ist. Dies führt zu einem Gleichgewicht zwischen der elektrischen Kraft und der horizontalen Komponente der Zugkraft im Faden.

Die elektrische Kraft ist gegeben durch:
\(F_{el} = qE\)

Die Gewichtskraft \(F_g\) der Kugel ist:
\(F_g = mg\)
wobei \(m = 0,4 \, \text{g} = 0,0004 \, \text{kg}\) und \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\).

Die horizontale Komponente dieser Kraft (die für das Gleichgewicht mit der elektrischen Kraft verantwortlich ist) kann anhand der Geometrie des Problems berechnet werden. Die Auslenkung \(x = 12 \, \text{mm} = 0,012 \, \text{m}\) und die Länge des Fadens \(l = 1,50 \, \text{m}\) geben uns ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem wir den Winkel \(\theta\) errechnen können, den der Faden mit der Vertikalen bildet.

Daraus ergibt sich:
\(\tan(\theta) = \frac{x}{\sqrt{l^2 - x^2}}\)

Um das Problem zu lösen und \(E\) zu finden, verwenden wir die Gleichung für \(F_{el}\) und setzen sie gleich der horizontalen Komponente der Gewichtskraft, welche durch das Produkt aus \(F_g\) und \(\sin(\theta)\) gegeben ist. Da \(F_g = mg\) und \(\sin(\theta) = x / l\) (anhand der Näherung für kleine Winkel), erhalten wir:
\(qE = mg \cdot \left( \frac{x}{l} \right)\)

Lösen wir nach \(E\) auf:
\(E = \frac{mgx}{ql}\)

Setzen wir die Werte ein:
\(E = \frac{(0,0004 \, \text{kg})(9,81 \, \text{m/s}^2)(0,012 \, \text{m})}{(6,0 \times 10^{-9} \, \text{As})(1,50 \, \text{m})}\)

\(E = \frac{(0,0004)(9,81)(0,012)}{(6,0 \times 10^{-9})(1,50)}\)

\(E = \frac{4,6992 \times 10^{-5}}{9,0 \times 10^{-9}}\)

\(E = 5,221 \times 10^{3} \, \text{V/m}\)

Also beträgt die elektrische Feldstärke \(E = 5221 \, \text{V/m}\).
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