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Ich möchte das Volumen eines Hohlzylinders mit Hilfe der Integralrechnung und in weiterer Folge sein Trägheitsmoment um die Z-Achse berechnen aber scheitere leider kläglich daran.

Ich weiß das I=∫R2dm ist und das ich die Masse als Dichte * Volumen darstellen kann aber irgendwie komm ich nicht auf das richtige Ergebnis von Iz=MR2. Vielleicht kann mir das jemand vorrechnen, damit ich es nachvollziehen kann.

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Hallo,

$$ { I }_{ zz }=\int r^2*ρ(r)*dV= ρ*\int r^2*δ(r-R)dV=ρ*\int_{0}^{2*π}\int_{0}^{\infty}\int_{-h/2}^{h/2} r^2*r*δ(r-R)dφ*dr*dz=ρ*2*π*h*\int_{0}^{\infty}r^3*δ(r-R)=ρ*2*π*h*R^3=ρ*2*π*h*R*R^2=M*R^2 $$

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    Betrachtungen zu Hohlkörpern.  Ein Sextanerwitz; der beste Schülerwitz, den ich je vernahm. Zielscheibe des Spotts: Musiklehrer " Pauli "


    " Welchen Notenwert hat der Pauli? "
    " Halbe Note; hohler Kopf mit Hals . . .  "

     In Kl. 7 beschäftigte ich mich schon mit Hohlspiegeln, als das noch gar nicht dran war ( Offiziell hatten wir noch gar keine Physik. ) Und da gab mir mein Intimus " Roth " ( Lieber tot als Roth ) den Spitznamen " Hole Mirror " . . .
     Erst mal das Volumen; das Volumenelement in Zylinderkoordinaten




       dV  =  (  r  dß  )  dr  dz       (  1  )


                  2 Pi           h          R
        V  =     $      dß    $  dz     $      r  dr  =       (  2a  )
                   0              0         R1


                              R
           =  2  Pi  h    $      r  dr  =          (  2b  )
                             R1





       =  Pi  h  r  ²  | R1 ; R  =  Pi  h  (  R  ²  -  R1  ²  )       (  2c  )




       In ( 2c ) setze ich



     r  (  mit  )  :=  1/2  (  R  +  R1  )  =  aritm. Mittelwert des Radius         (  3a  )

      DELTA  (  r  )  :=  R  -  R1  =  Dicke des Zylinders      (  3b  )



     Dann hast du in ( 2c )



       V  =  2  Pi   r  (  mit  )  h  DELTA  (  r  )      (  4  )



    (  4  )  in Worten:

   " Das Volumen des Hohlzylinders ( HZ ) ergibt sich aus Grundfläche Mal Höhe. "
   " Die Grundflächedes HZ ist ein Kreisrimg. "

   " Die Fläche des Kreisrings ergibt sich aus Mittellinie ( Kreis mit mittlerem Radius ) Mal Dicke. "

    Ist es nicht eigenartig? Gerade im Grenzfall Vollzylinder R1 = 0 wird die Faktorisierung ( 4 ) ungeschickt.

   Und ist es nicht eigenartig, welche Bilder aus dem Unterricht uns oft ein Leben lang verfolgen?

   Die Rede soll sein von den 36 Mann unserer 10d , die ihre Flegelperiode an der bedauernswerten Frau Gumboldt austobten. Hysterisches Gelächter; Zahl reiche Imitationen der Mainzelmännchen. Niemand meldet sich; Feststellungen auch privatester Natur werden einfach anarchisch in die Klasse gebrüllt.

   Warum nur entsinne ich mich ausgerechnet an Kamerad " Aumus " ? Ohne dazu aufgefordert zu sein, ruft er in die Klasse genau obiges Statement zum Volumen des HZ - Frau Gumboldt lobt ihn sogar. Zu Mindest bei mir war der pädagogische Effekt erreicht. In MEINEM Gedächtnis hat sich Aumus jedoch durch die folgenden zwei Stilblüten verewigt.

   Einmal wandte er sich an mich - es war sein voller Ernst. Frau Gumboldt habe jenes Versprechen nicht gehalten, das sie ihm gegeben habe, jedem von uns 36 ein Mädchen zu besorgen . . .

    Im Fach Geschichte will uns ein etwas übereifriger Referendar am Diskutieren halten.

   " Was wäre passiert, hätten damals die Perser bei den Perserkriegen gewonnen? "

    Aumus landet den Schnellschuss

    " Ob sie auch noch bis Rom vorgestoßen wären, kann man nicht wissen. Und wenn ja, dann bleibt immer noch unklar, ob auch sie ein Interesse entwickelt hätten, in Germanien einzufallen. Wenn aber, dann wäre DEUTSCHLAND HEUTE EIN ISLAMISCHES LAND . . . "

   Hier hat ganz klar jemand Wirrsache und Urkung verwechselt.

   Und jetzt zu deinem Trägheitsmoment. Mit ( 1 ) haben wir



     dJ  =  r  ²  dm  =  p  r  ²  dV  =  p  r  ³  dr  dß  dz       (  5a  )


                                  R

      J  =  2  Pi  p  h     $   r  ³  dr  =  1/2  Pi  p  h  r  ^  4  |  R1 ; R  =          (  5b  )

                                 R1



       =  1/2  Pi  p  h  (  R  ^  4  -  R1  ^  4  )        (  5c  )



     Analog ( 3a ) definieren wir



     r  ²  (  mit  )  :=  1/2  (  R  ²  +  R1  ²  )  =  aritm. Mittelwert des Radiusquadrats         (  6a  )



      Jetzt wenden wir auf ( 5c ) die 3. binomische an.



       J  =  Pi  p  h  r  ²  (  mit  )  (  R  ²  -  R1  ²  )          (  6b  )



    oder unter Berücksichtigung des Volumenterms ( 2c )



    J  =  p  V  r  ²  (  mit  )  =  M  r  ²  (  mit  )         (  6c  )


     In Worten:

  " Das Trägheitsmoment des HZ ist gleich seiner Masse Mal dem mittleren Radiusquadrat. "

  Ach zu der Deltafunktion bei unserem Freund 2044 hätte ich noch etwas nachzutragen. Diese wurde eingeführt von ===> Paul Antoine Marie Dirac , dem Entdecker der Antimaterie .

  ( E = m c ² kennt jeder; Antimaterie kennt auch jeder. Einstein kennt jeder; wer kennt Dirac? Wer weiß schon, wie man diesen Namen korrekt ausspricht? )

   Dirac war ein Kauz, über den Zahl reiche Anekdoten kursieren.

   " Man muss sich ja in Acht nehmen; allzu rasch verstrickt man sich ja bei Ihrer Deltafunktion in Widersprüche. "

  " Also ich kann rechnen wie ich will. ICH kriege immer nur richtige Ergebnisse raus . . . "

   Nein; im Rahmen der ===> ZFC lässt sich das Konzept der Deltafunktion einfach nicht rechtfertigen. Nach ===> Kurt Gödel und ===> Alfred Tarski gibt es zu jeder Sprachebene eine ===> Metaebene.

  ( Der Mensch kann über Ameisen sprechen, die Ameise aber nicht über den Menschen. ) Und in diesem Zusammenhang hat ===> Edward Nelson eine Metateorie zur ZFC verfasst, die er ===> Nonstandard Analysis nennt ===> ( NSA ; IST ) Als Lehrbuch ( auch bei Amazon erhältlich ) empfehle ich dir Alain Robert bei Wiley.

   Von mir stammt der Vergleich mit einem hypotetischen Farben blinden Menschen, der die Welt so wahr nimmt , wie sie im Schwarzweiß Fernsehen erscheint. Ganz im Gödelschen Sinne ist für den Farben Blinden voll unentscheidbar, ob das Prädikat " Farbe " überhaupt existiert oder nicht. Umgekehrt ändert sich ja nichts an den Aussagen über schwarzweiße Analysis nur, weil wir das Prädikat " Farbe " ( bzw. Standard ) zugeschaltet haben. Bekanntlich erhöht Farbe aber den Kontrast.

   Also DIE Deltafunktion gibt es ja gar nicht; höchstens EINE . Und eine Menge bilden sie schon gar nicht ( Mengen ließen sich ja beschreiben mit den Mitteln der ZFC )

  Als Beispiel für eine Deltafunktion nimm ein gleichschenkliges Dreieck mit infinitesimaler Basis € und Höhe 2 / € ; sein Flächeninhalt ist doch Eins . Naa; neugierig geworden? Dann schau doch mal in das Schlusskapitel von Alain robert.

  Ach übrigens; Nelson scheint auch so ein Kauz zu sein wie Dirac. Sein Paper ist das einzige, das sich mit Trugschlüssen und ihrer Vermeidung auseinandersetzt; selbst der genialste Matematiker habe die NSA Sprache stammeln gelernt wie ein natürliches Kind seine Muttersprache . . .

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