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Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe. Die a) habe ich gelöst, aber bei b) und c) finde ich keinen Ansatz. Danke!

Ein oben offener zylindrischer Behälter aus Plexiglas (ρ=1,19 g/cm³) sei um seine Mittelachse drehbar gelagert (siehe Skizze). Die Wandstärke des Behälters betrage 1 cm.
a) Leiten Sie eine Formel zur Berechnung des Trägheitsmomentes des Behälters her. (Die Formel für das Trägheitsmoment eines (Hohl-)Zylinders muss hergeleitet werden!)
b) In den Behälter werden nun 2 l Wasser (ρ = 1g/cm³) gegeben. Leiten Sie einen mathematischen Ausdruck für die Höhe der Wassersäule in Abhängigkeit vom Abstand zur Drehachse im rotierenden Behälter her. Berechnen Sie die maximale Drehgeschwindigkeit bei der der gesamte Boden noch benetzt wird.
c) Berechnen Sie nun das Trägheitsmoment des Gesamtsystems aus Wasser und Behälter in Abhängigkeit von dessen Drehzahl (das Wasser sei in diesem Zusammenhang als starrer Körper zu verstehen, der Boden werde immer benetzt). Wieviel Energie wird benötigt, um das System auf eine bestimmte
Drehzahl zu bringen?

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U

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Hallo, hat denn niemand eine Idee?

1 Antwort

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Vielleicht kann ich bei (b) helfen.

Die Kräfte die auf ein Flüssigkeitsteilchen wirken sind einmal die Gewichtskraft \( F_G = mg \) und zum anderen die Zentrifugalkraft \( F_{ZF} = m \omega^2 r \)

Die Steigung der Tangente im Punkt \( (r,z) \), wenn \( z \) die Höhe der Flüssigkeit ist und \( r \) der Radius des Zylinders, berechnet sich zu $$ \frac{dz}{dr} = \frac{m \omega^2 r}{mg} = \frac{\omega^2}{g} r $$

Das ergibt durch Integration $$ z(r) = z_0 + \frac{\omega^2}{2g} r^2 $$ D.h. das Wasser verteilt sich bei Rotation parabolisch im Behälter.

Der Höhenunterschied der Wasserstände in der Mitte und am Rand des Behälters ist

$$ h(r) = z(r) - z(0) = \frac{ \omega^2 }{2g} r^2 $$ Wenn \( \omega = 0 \) ist, der Behälter sich also nicht dreht, beträgt die Wassrehöhe also \( z_0. \)

Es gilt $$ V = 2 \text{ Liter} = \frac{d^2 \pi }{4} z_0 $$ folgt $$ z_0 = 7.86 \text{ cm} $$

Da sich das Wasser symmetrisch um die Rotationsachse verteilt muss nun gelten, wenn der Boden gerade noch benetzt sein soll

$$  \frac{h(r)}{2} = \frac{ \omega^2 }{4g} r^2 = z_0 $$ Also $$ \omega = \frac{ \sqrt{4 g z_0} }{ r } = \frac{1}{r^2} \sqrt{ \frac{4 g V}{\pi} }$$

von

Vielen Dank, das hilft mir sehr weiter!

Also ich setze da jetzt ein und da kommt 1,951 raus. Ist das richtig?

Du musst beücksichtigen, das \( g \) in \( m/s^2 \) und \( z_0 \) in \( cm \) angegeben sind. Dann kommt 19.51 Umdrehungen pro Sekunde raus.

Achso, das hab ich übersehen. Danke)

Hast du evtl. noch einen Ansatz für c)?

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