Kurvenintegral in Potentialfeld

Question

Habe gerade ein Kurvenintegral gelöst und kam dabei auf den Wert 0, was mir seltsam vorkam. Daraufhin hab ich etwas im Internet recherchiert und bin darauf gestoßen dass Kurvenintegrale in Potentialfeldern immer Null ergeben. Jedoch ohne Erklärung...

Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen?

mfg

Answer 1

Hallo,

das Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve eines Gradientenfeldes F(x,y,z) (Potentialfeld) ist immer 0.

Das hängt damit zusammen das es eine skalares Potential φ(x,y,z) gibt, sodass -grad φ=F

Dann gilt die Gleichung:

∫_a ^b F(x,y,z)•d(x,y,z)=φ(b)-φ(a)

und da bei einer geschlossenen Kurve a=b ist, ist das Integral 0. (Es kann auch passieren, dass das Integral verschwindet, wenn a≠b, das hängt vom Feld F ab)

Einfachstes Beispiel ist das Gravitationsfeld der Erde, wenn Ausgangshöhe und Endhöhe eines Objekts gleich groß sind, ist die verrichtete Arbeit um das Objekt zu verschieben null, da das Potential nur von der Höhe abhängt.