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Berechnen der Arbeit entlang einer Schraubenlinie und einer geraden Verbindung in einem Kraftfeld
Um die Arbeit zu berechnen, die erforderlich ist, um einen Massepunkt in einem Kraftfeld von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, kann man das Kurvenintegral der Kraft über den Pfad berechnen. Dies gilt für alle drei Teile der Aufgabe. Bevor wir mit den Berechnungen beginnen, stellen wir sicher, dass wir die geforderten Schritte klar verstehen.
Teil a: Arbeit entlang der Schraubenlinie
Gegeben ist die Schraubenlinie \( \gamma(t) = (\cos t, \sin t, t) \) und das Kraftfeld \( \vec{f}(x, y, z) = (-y, -x, z) \). Die Parameterdarstellung der Schraubenlinie setzt \( x = \cos t \), \( y = \sin t \), und \( z = t \).
Die Arbeit \( W \) wird berechnet durch das Kurvenintegral
\(
W = \int_C \vec{f} \cdot d\vec{r}
\)
Hier ist \( C \) der Pfad (unsere Schraubenlinie), \( \vec{f} \) das Kraftfeld und \( d\vec{r} \) ein infinitesimales Wegstück der Kurve. Um \( d\vec{r} \) für die Schraubenlinie zu bestimmen, differenzieren wir \( \gamma(t) \) nach \( t \):
\(
\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t, \sin t, t) = (-\sin t, \cos t, 1)
\)
Das Skalarprodukt \( \vec{f} \cdot d\vec{r} \) entlang unserer Kurve berechnen wir als:
\(
\vec{f}(\gamma(t)) \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = (-\sin t, -\cos t, t) \cdot (-\sin t, \cos t, 1) = \sin^2 t + \cos^2 t + t
\)
Das vereinfacht sich zu \( 1 + t \), da \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \). Also
\(
W = \int_C \vec{f} \cdot d\vec{r} = \int_0^{\pi} (1 + t) dt
\)
Die Grenzen \( 0 \) bis \( \pi \) ergeben sich aus der Bewegung von \( P_1 \) zu \( P_2 \), da für \( t = 0 \), \( \gamma(t) = (1, 0, 0) \) und für \( t = \pi \), \( \gamma(t) = (-1, 0, \pi) \).
\(
W = \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_0^{\pi} = \pi + \frac{\pi^2}{2}
\)
Teil b: Arbeit entlang einer geraden Verbindung
Die geradlinige Bewegung von \( P_1 \) zu \( P_2 \) kann nicht einfach durch Wiederanwendung des Integrals aus Teil a mit anderen Grenzen berechnet werden, da der Pfad anders ist. Die Berechnung erfordert eine erneute Parametrisierung der geraden Verbindung und dann eine Anwendung des gleichen Weges zur Arbeitsermittlung.
Teil c: Potenzialfunktion und Arbeit
Die gegebene Potenzialfunktion ist \( \Phi(x, y, z) = -xy + \frac{z^2}{2} \). Die Arbeit kann auch durch die Differenz der Potenzialwerte am Anfang und Ende des Weges berechnet werden:
\(
W = \Phi(P_2) - \Phi(P_1)
\)
Einsetzen der Koordinaten liefert:
\(
W = \left( -(-1) \cdot 0 + \frac{\pi^2}{2} \right) - \left( -1 \cdot 0 + \frac{0^2}{2} \right) = \frac{\pi^2}{2}
\)
Zusammengefasst, für Teil a, erhalten wir \(\pi + \frac{\pi^2}{2}\) als Arbeit entlang der Schraubenlinie. Teil b erfordert eine gesonderte Behandlung, da die Parametrisierung der Bewegung eine andere ist. In Teil c ergibt sich die Arbeit direkt aus der Potenzialfunktion zu \(\frac{\pi^2}{2}\), was zeigt, wie das Potenzialkraftfeld die Berechnung der Arbeit vereinfacht.
