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Hallo zusamnmen,


ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe in Physik, es ist die Nummer 5 b) bis d). Die Lösungen haben wir schon bekommen, allerdings nicht die Rechenwege.

Bild Mathematik

Die Schwingungsdauer konnte ich noch berechnen mit der Formel T=2pi* Wurzel aus m/D.

Für die Elongation haben wir die Formel s(t)= s (dach)* sin (w*t). Mein Problem ist jetzt das w - wie erhalte ich das?

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.


Danke.

von

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Hallo Donaugold,

(a) Schwingungsdauer ist richtig:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0,5 \mbox{kg}}{12 \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}}}} \approx 1,28 \mbox{s}$$

(b) Für die Auslenkung nach unten (Elongation) \(s\) gilt

$$s = \hat s \sin( \omega_0 \cdot t )$$

Die Kreisfrequenz \(\omega_0\) ist

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} = \sqrt{\frac{12 \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}}}{0,5 \mbox{kg}}} = 4,90 \frac{1}{\mbox{s}}$$

Dann ist die Auslenkung nach \(1,2\mbox{s}\)

$$s(1,2\mbox{s}) = 10 \mbox{cm} \cdot \sin\left( 4,90  \frac{1}{\mbox{s}} \cdot 1,2\mbox{s}\right) \approx -3,93 \mbox{cm}$$

negatives \(s\) bedeutet, dass sich der Körper oberhalb der Ruhelage befindet. Die Geschwindigkeit \(v\) ist die Ableitung nach der Zeit

$$v(1,2\mbox{s}) = \hat s  \omega_0 \cos( \omega_0 \cdot t ) = 0,1 \mbox{m} \cdot  4,90 \frac{1}{\mbox{s}} \cdot \cos\left( 4,90 \frac{1}{\mbox{s}} \cdot 1,2 \mbox{s}\right) \approx 0,45 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$$

Und die Beschleunigung \(a(t)\) ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.

$$a(\mbox{s}) = -\hat s \omega_0^2 \sin( \omega_0 \cdot t ) = -0,1\mbox{m} \cdot \left( 4,90 \frac{1}{\mbox{s}}\right)^2 \sin \left( 4,90 \frac{1}{\mbox{s}} \cdot 1,2 \mbox{s}\right) \approx 0,944 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}$$

Die Beschleunigung ist positiv (nicht negativ), dass heißt, der Körper wird nach unten beschleunigt.

(c) Die Rückstellkraft nach \(1,2\mbox{s}\) ist

$$F= -D \cdot s(1,2\mbox{s})  = -12 \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \cdot (-3,93 \mbox{cm}) = 0,47\mbox{N}$$

positive Kraft bedeutet hier, dass die Kraft den Körper nach unten zieht - genauer die Federkraft ist kleiner als die Gewichtskraft.

In der Amplitude ist die Auslenkung \(s=\hat s = 0,1\mbox{m}\).

$$F_{\max} = D \cdot \hat s = 12 \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \cdot 10 \mbox{cm} = 1,2\mbox{N}$$

(d) geht wieder über die Energieerhaltung

$$\frac12 D \cdot \hat s^2 = \frac12 m \cdot v_{\max}^2 \quad \Rightarrow v_{\max} = \sqrt{\frac{D}{m}} \cdot \hat s = \omega_0 \cdot \hat s \approx 0,49 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$$

$$E_{\mbox{kin}} = \frac12 m\cdot v^2 = E - \frac12 D \cdot s^2 = \frac12 D \cdot \hat s^2 - \frac12 D \cdot s^2$$

$$\space \Rightarrow v = \omega_0 \sqrt{\hat s^2 - s^2} = 4,90 \frac{1}{\mbox{s}} \sqrt{ \left( 0,1 \mbox{m}\right)^2 - \left( 0,08 \mbox{m}\right)^2 } \approx 0,29 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} $$

Gruß Werner

von 4,2 k

Danke erstmal für die ausführliche Antwort, die mir schon sehr weitergeholfen hat. Allerdings verstehe ich bei der d) nicht, welche beiden Energieformen nun gleich gesetzt werden und wie diese umgeformt werden. Ist das die Spannenergie 1/2* D* s^2?

Danke :)

Ich habe die Energie der maximalen Auslenkung mit \(s=\hat s\) und \(v=0\) mit der Energie gleichgesetzt, bei der sich der Körper durch die Position der Ruhelage hindurch bewegt. Dort ist \(s=0\) und \(v=v_{\max}\).

Ja \(\frac12Ds^2\) ist die Spannenergie der Feder. Siehe dazu auch meine Ausführung bei der letzten Frage Teil (b).

Und nochmal eine Frage: Wir haben die Bewegungsgelichungen (also Elongation, Momentangeschwindigkeit,...) immer mit diesem Phasenwinkel y0 aufgeschrieben. Zum Beispiel s(t)= s dach* sin (w0 * t + y0). Kann man diesen einfach weglassen bei den Aufgaben hier?

Vielen Dank für die Antwort.

Den Phasenwinkel \(y_0\) kann man genau dann weglassen, wenn er =0 ist. In der Aufgabenstellung heißt es: "... bewegt sich ... zur Zeit (t=0) durch die Ruhelage in Richtung positiver Elongation ..."

D.h. das Koordinatensystem für die Variable \(s\) ist so zu definieren, dass zum Zeitpunkt \(t=0\) auch \(s=0\) und \(\dot s = v \gt 0\) ist. Dies entspricht genau der Sinusfunktion ohne eine Phasenverschiebung. Folglich ist hier \(y_0=0\).

Würde man \(s\) in die Gegenrichtung als positiv definieren - was absolut ok wäre - dann wäre \(y_0=\pi\).

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