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Hsllo,

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Um die Tiefe eines Schachtes festzustellen, lÀsst man einen Stein hinein fallen. Man hört auf den Aufschlag nach 15,0 s.Wie tiefe ist der Schacht?

von

Vielleicht Àhnlich wie hier https://www.mathelounge.de/381538/freier-fall-tiefe-bestimmen

15,0 s ist allerdings etwas sehr lang.

EDIT: Du musst im Gegensatz zum Link noch die Schallgeschwindigkeit in deine Rechnung einbauen.

2 Antworten

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Beste Antwort

Der Stein durchfÀllt den Schacht.
s = 1/2 * g * (t1) ^2
und
der Schall legt die Schachthöhe in
s = 333 m/s * t2
zurĂŒck.
Außerdem
t1 + t2 = 15 sec

t2 = 15 - t1
s = 333 * ( 15 - t1 )

s = s
1/2 * 9.81 * t1 ^2 = 333 * ( 15 - t1 )
t1 = 12.64 sec
t2 = 15 - 12.64 = 2.36 sec

Probe
s = 1/2 * 9.81 * 12.64 ^2
s = 783.7 m

s = 333 * 2.36
s = 785.9 m

Ich nehme an irgendwo muß
noch genauer gerundet werden.

Bei Bedarf wieder melden.

von 7,1 k

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

+3 Daumen

Hallo Hijikie ! :-)

Bis man nach \(t = 15s \) den Aufprall hört, hat der Stein die (Fall) Zeit \(t_F \) bis zum Aufprall gebraucht und der Schall hat die (Schall) Zeit \(t_S \) benötigt.

Das ist insgesamt die Zeit \(t = t_F + t_S\). Der Schall braucht demnach
\(t_S = t - t_F \) Sekunden.

Der Stein und der Schall legen den gleichen Weg \(h \) zurĂŒck.
Es gilt fĂŒr den Stein \( h = \frac{1}{2}gt_F^2\) und fĂŒr den Schall
\( h =  v_s t_s  \). Weil der Weg gleich ist, können wir die Formeln gleichsetzen
\( \frac{1}{2}gt_F^2 = v_s t_s \) und erhalten nach dem Einsetzen von \(t_S \) \( \frac{1}{2}gt_F^2 = v_s (t - t_F) \). Das fĂŒhrt zu einer quadratischen Gleichung, die wir lösen können:
$$\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 = v_S(t - t_F)  \\\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 = v_S\cdot t - v_S\cdot t_F  \\\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 + v_S\cdot t_F - v_S\cdot t = 0 \quad \quad \bigg \vert \cdot \frac{2}{g} \\t_F^2 + \frac{2v_S}{g}\cdot t_F - \frac{2v_S\cdot t}{g} = 0 \\t_{F_{1,2}} = -\frac{v_S}{g} \pm \sqrt{\frac{v_S^2}{g^2}+\frac{2v_S\cdot t}{g}} \\t_{F_{1,2}} = -\frac{v_S}{g} \pm \sqrt{\frac{v_S^2+2v_S\cdot t\cdot g}{g^2}} \\t_{F_{1,2}} = \frac{-v_S \ \pm \sqrt{v_S^2+2v_S\cdot t\cdot g}}{g} \\$$
Wir setzen die Zahlenwerte der Schallgeschwindigkeit(340m/s), der Fallbeschleunigung(9,81m/s^2) und der Zeit(t = 15s) ein.

$$t_{F_{1,2}} = \frac{-340 \ \pm \sqrt{340^2+2\cdot 340\cdot 15\cdot 9.81}}{9.81} $$
Und erhalten die Lösungen
$$t_{F_{1}} \approx 12,7s \\ t_{F_{2}} \approx -82s \\$$
Daraus bekommen wir die Höhe. Nach \(12,7s \) hat der Stein \( h = \frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot \left( 12,7\right)^2 \approx 790 m  \) zurĂŒckgelegt.

Beste GrĂŒĂŸe
gorgar

von 1,0 k

Vielen Dank fĂŒr diese ausfĂŒhrliche Lösung :)

Ich habe noch eine Frage: woher weißt du, dass die Formel fĂŒr Schallhöhe

h = vs* ts

ist?

Der Schall bewegt sich (nÀherungsweise) in sogenannt gleichförmiger Bewegung. https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichf%C3%B6rmige_Bewegung D.h. er ist immer gleich schnell in der Luft.

als Schulaufgabe ist die Frage, so wie sie gestellt wurde, sicher richtig beantwortet.

Physikalisch ist das Unsinn. Ein Stein, der ohne BerĂŒcksichtigung des Luftwiderstandes fast 800m fĂ€llt wĂŒrde eine Geschwindigkeit von mehr als 120m/s annehmen. Dann hĂ€tte ein kugelförmiger Stein mit vielleicht 5cm im Durchmesser einen Luftwiderstand von 10-20N bei einem Eigengewicht von unter 2N. D.h. der Stein wĂŒrde in Luft nie diese Geschwindigkeit erreichen. Der Schacht ist also lange nicht so tief wie berechnet.

In > 95 % aller Aufgaben zum freien Fall
ist eine BerĂŒcksichtigung des Luftwiderstandes
nicht vorgesehen.
Abgesehen davon darf bezweifelt werden ob
der Aufschlag eines Steins in rund 1 km
Entfernung ĂŒberhaupt hörbar ist.
Es ist eine Aufgabe mit idealisierten Annahmen.

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