0 Daumen
2,9k Aufrufe

Hsllo,

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Um die Tiefe eines Schachtes festzustellen, lässt man einen Stein hinein fallen. Man hört auf den Aufschlag nach 15,0 s.Wie tiefe ist der Schacht?

Avatar von

Vielleicht ähnlich wie hier https://www.mathelounge.de/381538/freier-fall-tiefe-bestimmen

15,0 s ist allerdings etwas sehr lang.

EDIT: Du musst im Gegensatz zum Link noch die Schallgeschwindigkeit in deine Rechnung einbauen.

2 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Der Stein durchfällt den Schacht.
s = 1/2 * g * (t1) ^2
und
der Schall legt die Schachthöhe in
s = 333 m/s * t2
zurück.
Außerdem
t1 + t2 = 15 sec

t2 = 15 - t1
s = 333 * ( 15 - t1 )

s = s
1/2 * 9.81 * t1 ^2 = 333 * ( 15 - t1 )
t1 = 12.64 sec
t2 = 15 - 12.64 = 2.36 sec

Probe
s = 1/2 * 9.81 * 12.64 ^2
s = 783.7 m

s = 333 * 2.36
s = 785.9 m

Ich nehme an irgendwo muß
noch genauer gerundet werden.

Bei Bedarf wieder melden.

Avatar von 7,2 k

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

+3 Daumen

Hallo Hijikie ! :-)

Bis man nach \(t = 15s \) den Aufprall hört, hat der Stein die (Fall) Zeit \(t_F \) bis zum Aufprall gebraucht und der Schall hat die (Schall) Zeit \(t_S \) benötigt.

Das ist insgesamt die Zeit \(t = t_F + t_S\). Der Schall braucht demnach
\(t_S = t - t_F \) Sekunden.

Der Stein und der Schall legen den gleichen Weg \(h \) zurück.
Es gilt für den Stein \( h = \frac{1}{2}gt_F^2\) und für den Schall
\( h =  v_s t_s  \). Weil der Weg gleich ist, können wir die Formeln gleichsetzen
\( \frac{1}{2}gt_F^2 = v_s t_s \) und erhalten nach dem Einsetzen von \(t_S \) \( \frac{1}{2}gt_F^2 = v_s (t - t_F) \). Das führt zu einer quadratischen Gleichung, die wir lösen können:
$$\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 = v_S(t - t_F)  \\\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 = v_S\cdot t - v_S\cdot t_F  \\\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 + v_S\cdot t_F - v_S\cdot t = 0 \quad \quad \bigg \vert \cdot \frac{2}{g} \\t_F^2 + \frac{2v_S}{g}\cdot t_F - \frac{2v_S\cdot t}{g} = 0 \\t_{F_{1,2}} = -\frac{v_S}{g} \pm \sqrt{\frac{v_S^2}{g^2}+\frac{2v_S\cdot t}{g}} \\t_{F_{1,2}} = -\frac{v_S}{g} \pm \sqrt{\frac{v_S^2+2v_S\cdot t\cdot g}{g^2}} \\t_{F_{1,2}} = \frac{-v_S \ \pm \sqrt{v_S^2+2v_S\cdot t\cdot g}}{g} \\$$
Wir setzen die Zahlenwerte der Schallgeschwindigkeit(340m/s), der Fallbeschleunigung(9,81m/s^2) und der Zeit(t = 15s) ein.

$$t_{F_{1,2}} = \frac{-340 \ \pm \sqrt{340^2+2\cdot 340\cdot 15\cdot 9.81}}{9.81} $$
Und erhalten die Lösungen
$$t_{F_{1}} \approx 12,7s \\ t_{F_{2}} \approx -82s \\$$
Daraus bekommen wir die Höhe. Nach \(12,7s \) hat der Stein \( h = \frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot \left( 12,7\right)^2 \approx 790 m  \) zurückgelegt.

Beste Grüße
gorgar

Avatar von 1,0 k

Vielen Dank für diese ausführliche Lösung :)

Ich habe noch eine Frage: woher weißt du, dass die Formel für Schallhöhe

h = vs* ts

ist?

Der Schall bewegt sich (näherungsweise) in sogenannt gleichförmiger Bewegung. https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichf%C3%B6rmige_Bewegung D.h. er ist immer gleich schnell in der Luft.

als Schulaufgabe ist die Frage, so wie sie gestellt wurde, sicher richtig beantwortet.

Physikalisch ist das Unsinn. Ein Stein, der ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes fast 800m fällt würde eine Geschwindigkeit von mehr als 120m/s annehmen. Dann hätte ein kugelförmiger Stein mit vielleicht 5cm im Durchmesser einen Luftwiderstand von 10-20N bei einem Eigengewicht von unter 2N. D.h. der Stein würde in Luft nie diese Geschwindigkeit erreichen. Der Schacht ist also lange nicht so tief wie berechnet.

In > 95 % aller Aufgaben zum freien Fall
ist eine Berücksichtigung des Luftwiderstandes
nicht vorgesehen.
Abgesehen davon darf bezweifelt werden ob
der Aufschlag eines Steins in rund 1 km
Entfernung überhaupt hörbar ist.
Es ist eine Aufgabe mit idealisierten Annahmen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Nanolounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community