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Aufgabe:

In einem halben Jahr zerfallen 10 %, wie viel ist die Zerfallsrate pro Jahr?
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Aloha :)

Das allgemeine Zerfallsgesetz lautet: \(n(t)=n_0e^{-\lambda\cdot t}\). Darin ist \(t\) die vergangene Zeit, \(n_0\) die Anzahl der Teilchen zum Zeitpunkt \(t=0\), \(n(t)\) die Anzahl der noch nicht zerfallenen Teilchen zum Zeitpunkt \(t\) und \(\lambda\) die Zerfallskonstante. Wir mussen hier zunĂ€chst aus den Angaben die Zerfallskonstante \(\lambda\) fĂŒr dein Problem ermitteln und anschließend das Gesetz mit \(t=1\) Jahr anwenden.

Wir wissen, nach \(t=\frac{1}{2}\) Jahr sind \(10\%\) der Teilchen anfÀnglich \(n_0\) zerfallen, also sind noch \(90\%\) da:

$$\left.0,9\cdot n_0=n_0e^{-\lambda\cdot\frac{1}{2}}\quad\right|\;:n_0$$$$\left.0,9=e^{-\lambda\cdot\frac{1}{2}}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(0,9)=-\lambda\cdot\frac{1}{2}\quad\right|\;\cdot(-2)$$$$\lambda=-2\cdot\ln(0,9)$$$$\lambda\approx0,210721$$Jetzt können wir in das Zerfallsgesetz die interessierende Zeit \(t=1\) Jahr eintragen:

$$n(1)=n_0\cdot e^{-0,210721\cdot1}=n_0\cdot e^{-0,210721}=0,81\,n_0$$Das heißt, nach 1 Jahr sind noch \(81\%\) aller Teilchen vorhanden bzw. sind bereits \(19\%\) aller Teilchen zerfallen.

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