Aloha :)
Das allgemeine Zerfallsgesetz lautet: \(n(t)=n_0e^{-\lambda\cdot t}\). Darin ist \(t\) die vergangene Zeit, \(n_0\) die Anzahl der Teilchen zum Zeitpunkt \(t=0\), \(n(t)\) die Anzahl der noch nicht zerfallenen Teilchen zum Zeitpunkt \(t\) und \(\lambda\) die Zerfallskonstante. Wir mussen hier zunächst aus den Angaben die Zerfallskonstante \(\lambda\) für dein Problem ermitteln und anschließend das Gesetz mit \(t=1\) Jahr anwenden.
Wir wissen, nach \(t=\frac{1}{2}\) Jahr sind \(10\%\) der Teilchen anfänglich \(n_0\) zerfallen, also sind noch \(90\%\) da:
$$\left.0,9\cdot n_0=n_0e^{-\lambda\cdot\frac{1}{2}}\quad\right|\;:n_0$$$$\left.0,9=e^{-\lambda\cdot\frac{1}{2}}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(0,9)=-\lambda\cdot\frac{1}{2}\quad\right|\;\cdot(-2)$$$$\lambda=-2\cdot\ln(0,9)$$$$\lambda\approx0,210721$$Jetzt können wir in das Zerfallsgesetz die interessierende Zeit \(t=1\) Jahr eintragen:
$$n(1)=n_0\cdot e^{-0,210721\cdot1}=n_0\cdot e^{-0,210721}=0,81\,n_0$$Das heißt, nach 1 Jahr sind noch \(81\%\) aller Teilchen vorhanden bzw. sind bereits \(19\%\) aller Teilchen zerfallen.
