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Ich bastele nun schon einige Zeit an der Fragestellung herum:

Was passiert mit den Dimensionen von physikalischen Gleichungen, wenn Werte unter Wurzeln stehen?

Zum besseren Verständnis:

Das Thema lautet:
Was passiert mit den Dimensionen von physikalischen Gleichungen, wenn Werte unter Wurzeln stehen?

Klassisches Beispiel, bei dem es reibungslos klappt: Freier Fall.
h = Fallhöhe [m]
g = Erdbeschleunigung am Normort m/s²
t = Fallzeit [s]

\( \frac { g * t ^ { 2 } } { 2 } = h \) aufgelöst nach der Fallzeit gibt das:

\( t = \sqrt { \frac { 2 h } { g } } \triangleq \) für die Einheiten \( t = \sqrt { \frac { m * s ^ { 2 } } { m } } \) m kürzen → \( t = \sqrt { s ^ { 2 } } \triangleq t = s \)

Man sieht hier:
Damit t die richtige Einheit (s) hat, muss die Wurzel nicht nur auf die Zahlenwerte,
sondern auch auf die Einheiten wirken!
Die Dimensionen müssen wie Zahlen behandelt werden. Die Wurzel muss genauso auf
die Dimensionen angewendet werden.

Es gibt aber auch Gegenbeispiele: z.B. Hertz´sche Pressung an Stirnrädern.
\( \sigma = \sqrt { \frac { F _ { t } } { b * d _ { 1 } } * \frac { u + 1 } { u } } \)

u= dimensionslose Faktoren, b und d in m oder mm

Die Einheit lautet also

\( \sigma = \sqrt { \frac { N } { m * m } } = \sqrt { \frac { N } { m ^ { 2 } } } \)

Wenn ich hier die Wurzel auf die Einheiten anwende, funktioniert es nicht mehr, die richtige
Einheit für die Spannung \( \sigma \) ist \( \frac { N } { m ^ { 2 } } \).

Frage also:
1, Wie ist das Problem Einheiten unter Wurzeln grundsätzlich zu behandeln?
2. Wie sieht es aus, wenn man die Wurzel aus z.B. einer Einheit ohne Potenz ziehen muss,
also z.B. √N ? Wird dann die Einheit wie eine 1 behandelt, also √1?

von

Eigentlich würde ich dann sagen die Formel ist falsch. Hast du eine Internetseite auf der die Formel steht und erklärt wird?

Ich habe gestern noch einmal mit einer deutlich komplizierteren Formel herumgerechnet, s. Anhang. Nachdem ich mich erst mal verrechnet hatte, kam ich dann am Schluss aber doch auf die richtige Einheit Kelvin, wie es sein musste.

Das bringt mich selber daher auch weiter in Richtung der Überlegung, dass an der Gleichung mit der Hertz´schen Pressung etwas nicht stimmt. Ich habe allerdings bisher keine Ahnung wie das sein kann, soviel ich weiß, stammte das aus einem Fachbuch. Leider habe ich es nicht da.

Wie auch immer, es scheint tatsächlich so zu sein, die Einheiten müssen mathematisch auch passen und eine Gleichung ergeben.

Eine Frage bleibt aber dennoch offen.

Wie ist mit Einheiten unter einer Wurzel umzugehen, die in erster Potenz stehen. Also kg oder N oder so in der Art und die sich nicht raus kürzen?

Sollen die wie eine 1 behandelt werden? - Also Wurzel aus 1 bleibt 1, Wurzel aus kg bleibt kg?

Test.pdf (0,4 MB)

√kg bleibt einfach so stehen. Die Einheit sieht zwar dann seltsam aus, aber ist für  evt. weitere Rechnung richtig.

Beispiel:

[A]=√kg

[B]=√kg

--> [A*B]=√kg*√kg=kg

Völlig richtig. √N = √N

Aber daran sieht man eigentlich das etwas verkehrt in der Formel ist. Dann natürlich sollte die Einheit der Formel mit der Einheit des Ergebnisses übereinstimmen.

Tja, das sieht wirklich merkwürdig aus. ;-))

Zu Zeit habe ich auch keine Formel, in der eine Einheit unter der Wurzel in erster Potenz steht und sich auch nicht kürzt.

Naja, mal sehen, wenn ich etwas finde melde ich mich.

Ansonsten erst mal Danke an alle, die meine Frage kommentiert haben.

2 Antworten

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Einheiten werden genauso behandelt wie numerische Werte auch.

Die Einheit der Spannung wäre z.B. N / m^2

Die von dir angeführte Formel habe ich nicht gefunden.

Hast du eine Quelle für die Formel ?

von 7,0 k

Hallo

Nun ja, die Formel stammt aus meinen alten Uni-Aufzeichnungen aus Maschinenelemente.

Das war noch vor dem Internet 1980. ;-))

Das darin ein Fehler ist, scheint mir erst mal unwahrscheinlich.

Bild Mathematik

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prinzipiell müssen die Einheiten auf beiden Seiten einer Gleichung übereinstimmen, ansonsten wäre keine Gleichheit gegeben (3s≠3m)

Mir wäre auch nicht bekannt, dass es Formeln gibt, bei denen das nicht beachtet wird.

Bei deiner Gleichung mit der Hertzschen Spannung denke ich mal, dass es lauten muss:

σ=√[F/(b*d1)*((u+1)/u)*N], dann stimmen auch die Einheiten. u wäre dann trotzdem einheitenlos.

von 2,4 k

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