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Aufgabe:

Ich soll das Biegemoment Mb berechnen, sowie die Biege und Normalspannung. Ich soll sigma ges. oben und Sigma ges. unten berechnen, nur weiß ich nicht, wie das gehen soll.

Gegeben:

I= b*h^3/12

F= 10N

A= 20mm

B=20mm

H=10mm


Ich soll im Schnitt B-B mit den angegebenen Werten, das Biegemoment, Biege- und Normalspannung berechnen.

Wie gehe ich hier vor, muss ich wieder ganz normal schneiden und die Querkräfte, Normalkräfte, sowie das Moment bestimmen?

blob.png

von

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Hallo Tekto,

verlasse Dich nicht zu sehr auf mich. Zum einen bin ich nicht ständig online - Ende August werde ich zwei Wochen off sein - und zum anderen sind viele TM-Aufgaben i.A. relativ umfangreich zu beantworten (für diese gilt das nicht). Heißt: ich muss mir dazu extra Zeit nehmen, das kann ich nicht eben so zwischen durch machen, wie viele der Mathe(Haus-)Aufgaben.

Wie gehe ich hier vor, muss ich wieder ganz normal schneiden und die Querkräfte, Normalkräfte, sowie das Moment bestimmen?

Ja genau, und ich gehe davon aus, dass Du das inzwischen kannst. Hier noch mal eine Skizze, wie ich Deine Skizze verstanden habe:

Unbenannt.png

Die Schnittgrößen (blau), die auf das rechte Stück wirken, sind relevant für die Spannungen. Sie sind: $$ \begin{aligned} B_y&= -2F \\ B_z& = -F \\ M_B&\cancel{= -3aF} = -\frac{a}{2} \cdot 2F - a \cdot F = -2aF \end{aligned}$$ Die Vorzeichen spielen jetzt nur in soweit eine Rolle, dass man sich darüber klar werden muss, wo Zug- und wo Druckspannungen herrschen. Im folgenden ignoriere ich formal die Vorzeichen. Massgeblich sind bei Biegebalken i.A. nur die Biege- und Zugspannungen. Die werden zunächst gesondert bestimmt. \(M_B\lt 0\) d.h. für diesen Balken, dass oben Zug- und unten Druckspannungen vorliegen. Es ist:

$$\sigma_{\max} = \frac{M_B}{W_x}$$ (siehe auch Widerstandsmoment) und $$W_x =  \frac{I_x}{a_{\max}}$$ wobei \(a_{max}\) der maximale Abstand des Materials von der neutralen Faser ist. Hier ist $$a_{\max} = \frac12 h$$ also

$$W_x =  \frac{I_x}{a_{\max}} = \frac{\frac{1}{12}b h^3}{\frac12 h} = \frac{1}{6} b h^2$$ was sich mit der Gleichung für einen rechteckigen Querschnitt deckt, die Du hinter dem Link findest. Die maximale Spannung ist demnach

$$\sigma_{\max} = \frac{M_B}{W_x} = \frac{6 \cdot 2aF}{ bh^2}= \frac{12 \cdot 20\text{mm} \cdot 10\text{N}}{20\text{mm} \cdot \left( 10 \text{mm}\right)^2} = 1,2 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$

Die Zugspannung ist

$$\sigma_{\text{zug}} = \frac{B_y}{hb} = \frac{2 \cdot 10\text{N}}{10 \text{mm} \cdot 20 \text{mm}} = 0,1 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$ Die Zugspannung addiert sich im Zugbereich (also oben im Balken) zu der Biegespannung hinzu und hebt im Druckbereich (unten) diese teilweise auf. Somit ist

$$\begin{aligned} |\sigma_{oben}| &= 1,3 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ | \sigma_{unten}|&= 1,1 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\end{aligned}$$

Ich habe jetzt ganz bewusst Betragsstriche hinzugefügt, und mir damit die Sache mit dem Vorzeichen leicht gemacht. Keine Ahnung, ob Ihr Zug- oder Druckspannung als positiv definiert. Weiter ist Dir sicher aufgefallen, dass ich die Schubspannung ignoriert habe. Wenn Du diese hinzurechnest, musst Du Dich mit dem Spannungstensor auseinander setzen. Bei Biegebalken braucht man das i.A. in der Praxis nicht, da die Biegespannungen konstruktionsbestimmend sind.

Gruß Werner

von 4,4 k

Werde ich dann demnächst beachten, danke.

Kannst du mir vielleicht noch einige Fragen zu deinen Aufstellungen sagen?

Habe ich richtig verstanden das ich durch den B schneide und mir dann sozusagen den linken Teil gar nicht mehr anschaue?

Ebenso wollte ich fragen, woher die Bz und By beim freischneiden kommen?

Sind diese Kräfte wie die Normalkraft sowie Querkraft gleich zu setzten? Ist die Annahme wie man die Kräfte macht egal?

Ich kenne die Regeln leider nicht, muss ich wenn das

Mb<0 für diesen balken das oben Zug und unten Druck Spannungen vorliegen

nicht zutrifft was anders beachten?

Ebenso wollte ich dich noch fragen was mit maximaler Abstand der neutraler faser gemeint ist, ich nehme du hast sozusagen die Dicke anhand des rechten Balkens der über steht entnommen?

Hallo Tekto,

Habe ich richtig verstanden das ich durch den B schneide und mir dann sozusagen den linken Teil gar nicht mehr anschaue?

Ja genau - ist auch nicht nötig. Soweit ich die Aufgabestellung verstanden habe, sollst Du auch nur die Spannungen im Schnitt \(B\) berechnen.


Ebenso wollte ich fragen, woher die Bz und By beim freischneiden kommen?

Ich hoffe ich habe die Frage richtig verstanden! Das sind die Schnittkräfte (Normalkraft, Querkraft und Biegemoment) .. oder worauf läuft die Frage hinaus?


Sind diese Kräfte wie die Normalkraft sowie Querkraft gleich zu setzen?

Nein natürlich nicht! Die Normalkraft wirkt in Längsrichtung des Balkens (hier \(B_x\)) und die Querkraft (hier \(B_y\)) senkrecht dazu. Wieso sollten die gleich sein?


Ich kenne die Regeln leider nicht, muss ich wenn das
Mb<0 d.h. für diesen Balken, dass oben Zug und unten Druck Spannungen vorliegen
nicht zutrifft was anders beachten?

Das ist keine Regel, sondern eine physikalische Tatsache. Gerade bei diesen verhältnismäßig einfachen(!) Aufgaben solltest Du eine Vorstellung davon haben, wie die Spannungen im Material verlaufen. Und zwar ganz unabhängig von irgendwelchen Berechnungen.

Nehme z.B. ein Radiergummi, spanne es in in einen Schraubstock, so dass noch ein guter Teil des Gummis oben heraus schaut, und belaste es quer zur Einspannrichtung. D.h. drücke einfach mit dem Finger dagegen. Das Gummi wird nachgeben. Nun schau Dir an, wo sich das Material dehnt und wo es gestaucht wird. Da wo es sich dehnt, herrschen Zugspannungen und da wo es gestaucht wird, Druckspannungen.

So etwas solltest Du Dir ohne weiteres im Kopf vorstellen können. Falls Du damit Probleme hast, solltest Du IMHO noch mal darüber nachdenken, ob Du die für Dich richtige Ausbildung gewählt hast!

Hier ist das ähnlich. Beide Kräfte erzeugen ein positives Moment (positv im Sinne des gewählten Koordinatensystems!) d.h. der Balken wird nach unten gebogen. Oben im Balken müssen also Zug- und unten Druckspannungen vorliegen. Damit die Momentensumme in \(B\) wieder gleich 0 ist, muss das \(M_B\) folglich negativ sein.


Ebenso wollte ich dich noch fragen, was mit maximaler Abstand der neutraler Faser gemeint ist, ...

Die 'neutrale Faser' ist der Teil eines Biegebalken, in dem bei reiner Biegebelastung keine Zug- oder Druckspannungen auftreten. Ausgehend von der neutralen Faser nehmen die Zugspannungen gegen und die Druckspannungen in Biegerichtung zu. Und dies geschieht linear. Siehe z.B. hier. D.h. umso weiter das Material von der neutralen Faser entfernt ist, desto größer wird die Spannung darin.

Bei symmetrischen Profilen (so wie hier) liegt die neutrale Faser in der Balkenmitte. Und folglich ist der maximale Abstand (und damit der Ort der größten Spannung!) die halbe Balkenhöhe \(h/2\).

Hallo Werner,


Ich habe mir mal die Aufgabe mal angeschaut, weil ich so eine ähnliche lösen wollte, nur fürs Verständis: Ist hier das MB nicht=-2Fa?


Wenn ich nach rechts drehe hat ja 2F den Hebelarm a/2 , weil das ja der kürzester abstand zum Moment ist. Sobald die Kraft unten auf dem Balken liegt, geht ja praktisch die Wirkungslinie in das Moment rein. und F nur den Hebelarm a oder? Somit komme ich auf Fa+Fa, danach umgestellt = -2Fa


Oder irre ich mich da?


Und hier wird doch nach dem schneiden, das „Rechte Schnittufer“ betrachtet? Dann wäre ja laut dessen BZ nach oben gehen und BY nach links?

Ist ja eigentlich egal, weil die Vorzeichen ja am Ende keine rolle spielen, nur fürs Verständnis. Ich danke dir schon mal jetzt für deine Antwort



Gruß Marko

Hallo Marko,

Ich habe mir mal die Aufgabe mal angeschaut, weil ich so eine ähnliche lösen wollte, nur fürs Verständis: Ist hier das MB nicht=-2Fa?

Ja - gut dass einer aufpasst. Danke dafür!

Es muss \(-2Fa\) heißen. Ich korrigiere das in meiner Antwort.

Und hier wird doch nach dem schneiden, das „Rechte Schnittufer“ betrachtet? Dann wäre ja laut dessen BZ nach oben gehen und BY nach links?

Das ist davon abhängig, welches der beiden Schnittufer man als positives Schnittufer definiert. Wichtig ist dabei nur, dass man innerhalb eines Schnitts beide Schnittufer unterschiedlich definiert - eines positiv das andere negativ. Sonst wäre die Kräfte- und Momentensumme innerhalb des Schnitts nicht 0. Ich habe in diesem Fall das rechte (implizit) als das positive angenommen.

Hallo Werner, könntest du mir sagen, inwiefern, die Vorzeichen eine Rolle spielen? Das Moment, war bzw ist ja negativ, heißt im Umkehrschluss das auch sigma max, negativ sein muss, da du hier ja MB eingesetzt hast. Sigma Zug müsste ja auch negativ sein, da du hier den negativen wert von BY eingesetzt hast. Heißt theoretisch oben: -1,2-0,1=-1,3 und für unten : -1,2-(-0,1)=-1,1?


Grüße Tim

Hallo Tim,

könntest du mir sagen, inwiefern, die Vorzeichen eine Rolle spielen?

Es spielt natürlich eine Rolle, aber ...

Das Moment, war bzw ist ja negativ, heißt im Umkehrschluss das auch sigma max, negativ sein muss, da du hier ja MB eingesetzt hast.

Nein, dass ist nicht so! Die Gleichung $$\sigma_{\max} = \frac{M_B}{W_x}$$ enthält mit dem \(W_x\) auch ein \(a_{\max}\), was den maximalen Abstand von Material zur neutralen Faser angibt. Und dieses \(a_{\max}\) kann sowohl negativ, als auch positiv sein. Bei diesem Zusammenhang sind nur die Beträge von Bedeutung.

Heißt theoretisch oben: -1,2-0,1=-1,3 und für unten : -1,2-(-0,1)=-1,1?

Das kann nun gar nicht sein, da hier die Biegespannungen überwiegen und folglich muss auf einer Seite eine Zug- und auf der anderen eine Druckspannung anliegen. Die Vorzeichen sind also in jedem Fall unterschiedlich.


Wenn Du das Vorzeichen wirklich berücksichtigst, musst Du es immer(!) berücksichtigen. Ich habe die Kräfte und Momente so definiert, wie sie auf das rechte Teilstück wirken. D.h. man kann sie direkt in die Spannungen 'übersetzen'. Ich betrachte jetzt nur das Moment \(M_B\) und dies kann ich durch die Summe aller Spannungen ersetzen. Ich definiere zunächst noch Zug als positiv. Dann ist (\(A\) ist der Querschnitt):

$$M_B = \int_A \sigma(z) \cdot z \, \text{d}A$$ Der Ansatz für Biegespannungen ist nun \(\sigma(z) = k \cdot z\). Damit impliziere ich, dass die neutrale Faser bei \(z=0\) liegt. Jetzt ist noch \(\text{d}A = b \cdot \text{d}z\) (\(b\) sei die Balkenbreite) und weil wir einen rechteckigen Querschnitt haben und \(h\) die Höhe ist, läuft \(z\) von oben \(z=-h/2\) bis unten \(z=h/2\). Alles zusammen:

$$M_B = b \cdot \int_{-h/2}^{+h/2} kz^2 \, \text{d}z = \frac{k b h^3}{12}$$ bzw. $$k = \frac{12 M_B}{bh^3} \lt 0 \quad \text{da} \space M_B \lt 0$$ Jetzt kann ich die Spannungen berechnen - z.B. für oben (\(z=-h/2\)):$$ \sigma_{\text{oben}} = k \cdot \frac{-h}{2} = \frac{-6}{bh^2} M_B \gt 0 \quad \text{da } \space M_B \lt 0$$ Na - erkennst Du das \(W_x\) wieder? Und oben im Balken ist die Spannung positiv, es liegt also eine Zugspannung vor.

Ja - und jetzt siehst Du vielleicht warum man sich das im Normalfall spart. Im Allgemeinen ist bei Problemstellungen dieser Art klar welche Belastungen wo Zug- und wo Druckspannungen verursachen. \(W_x\) ist auch bekannt und man kann sich den Aufwand sparen alles 'zu Fuß' nachzurechnen, nur um am Ende die Vorzeichen zu erhalten, die man schon vorher wusste.

Gruß Werner

PS.: für Deine Frage hatte ich leider noch keine Zeit gefunden, zumal die Antwort für mich recht zeitintensiv wäre.

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