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Hallo Leute,


komme leider bei der folgenden Aufgabe nicht weiter. Ich soll das Biegemoment Mb berechnen, sowie die Biege und Normalspannung. Ich soll sigma ges oben und Sigma ges. unten berechnen, nur weiß ich leider nicht, wie das gehen soll. Habe im Netz auch nicht wirklich Hilfe gefunden.


Ich habe einiges auch gegeben I= b*h^3/12

F= 10N

A= 20mm

B=20mm

H=10mm


Ich soll im schnitt B-B mit den angegebenen Werten, das Biegemoment, Biege und Normalspannung berechnen.


Wie gehe ich hier vor, muss ich wieder ganz normal schneiden und die QuerkrĂ€fte, NormalkrĂ€fte, sowie das Moment bestimmen?


Leider weiß ich ĂŒber das Thema gar nichts.97785A8E-BFEE-4569-9E5E-7EFDFB283831.jpeg  Ich bin jedem dankbar.


Vor allen Dingen danke  an Werner!


LG Tekto

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Tekto,

verlasse Dich nicht zu sehr auf mich. Zum einen bin ich nicht stĂ€ndig online - Ende August werde ich zwei Wochen off sein - und zum anderen sind viele TM-Aufgaben i.A. relativ umfangreich zu beantworten (fĂŒr diese gilt das nicht). Heißt: ich muss mir dazu extra Zeit nehmen, das kann ich nicht eben so zwischen durch machen, wie viele der Mathe(Haus-)Aufgaben.

Wie gehe ich hier vor, muss ich wieder ganz normal schneiden und die QuerkrÀfte, NormalkrÀfte, sowie das Moment bestimmen?

Ja genau, und ich gehe davon aus, dass Du das inzwischen kannst. Hier noch mal eine Skizze, wie ich Deine Skizze verstanden habe:

Unbenannt.png

Die SchnittgrĂ¶ĂŸen (blau), die auf das rechte StĂŒck wirken, sind relevant fĂŒr die Spannungen. Sie sind: $$\require{cancel} \begin{align} B_y&= -2F \\ B_z& = -F \\ M_B&\cancel{= -3aF} = -\frac{a}{2} \cdot 2F - a \cdot F = -2aF \end{align}$$ Die Vorzeichen spielen jetzt nur in soweit eine Rolle, dass man sich darĂŒber klar werden muss, wo Zug- und wo Druckspannungen herrschen. Im folgenden ignoriere ich formal die Vorzeichen. Massgeblich sind bei Biegebalken i.A. nur die Biege- und Zugspannungen. Die werden zunĂ€chst gesondert bestimmt. \(M_B\lt 0\) d.h. fĂŒr diesen Balken, dass oben Zug- und unten Druckspannungen vorliegen. Es ist:

$$\sigma_{\max} = \frac{M_B}{W_x}$$ (siehe auch Widerstandsmoment) und $$W_x =  \frac{I_x}{a_{\max}}$$ wobei \(a_{max}\) der maximale Abstand des Materials von der neutralen Faser ist. Hier ist $$a_{\max} = \frac12 h$$ also

$$W_x =  \frac{I_x}{a_{\max}} = \frac{\frac{1}{12}b h^3}{\frac12 h} = \frac{1}{6} b h^2$$ was sich mit der Gleichung fĂŒr einen rechteckigen Querschnitt deckt, die Du hinter dem Link findest. Die maximale Spannung ist demnach

$$\sigma_{\max} = \frac{M_B}{W_x} = \frac{6 \cdot 2aF}{ bh^2}= \frac{12 \cdot 20\mbox{mm} \cdot 10\mbox{N}}{20\mbox{mm} \cdot \left( 10 \mbox{mm}\right)^2} = 1,2 \frac{\mbox{N}}{\mbox{mm}^2}$$

Die Zugspannung ist

$$\sigma_{\mbox{zug}} = \frac{B_y}{hb} = \frac{2 \cdot 10\mbox{N}}{10 \mbox{mm} \cdot 20 \mbox{mm}} = 0,1 \frac{\mbox{N}}{\mbox{mm}^2}$$ Die Zugspannung addiert sich im Zugbereich (also oben im Balken) zu der Biegespannung hinzu und hebt im Druckbereich (unten) diese teilweise auf. Somit ist

$$\begin{align} |\sigma_{oben}| &= 1,3 \frac{\mbox{N}}{\mbox{mm}^2} \\ | \sigma_{unten}|&= 1,1 \frac{\mbox{N}}{\mbox{mm}^2}\end{align}$$

Ich habe jetzt ganz bewusst Betragsstriche hinzugefĂŒgt, und mir damit die Sache mit dem Vorzeichen leicht gemacht. Keine Ahnung, ob Ihr Zug- oder Druckspannung als positiv definiert. Weiter ist Dir sicher aufgefallen, dass ich die Schubspannung ignoriert habe. Wenn Du diese hinzurechnest, musst Du Dich mit dem Spannungstensor auseinander setzen. Bei Biegebalken braucht man das i.A. in der Praxis nicht, da die Biegespannungen konstruktionsbestimmend sind.

Gruß Werner

von 4,3 k

Hallo Werner,


werde ich dann demnÀchst beachten, danke.


Kannst du mir vielleicht noch einige Fragen zu deinen Aufstellungen sagen?


Habe ich richtig verstanden das ich durch den B schneide und mir dann sozusagen den linken Teil gar nicht mehr anschaue?


Ebenso wollte ich fragen, woher die Bz und By beim freischneiden kommen?

Sind diese KrÀfte wie die Normalkraft sowie Querkraft gleich zu setzten? Ist die Annahme wie man die KrÀfte macht egal?


Ich kenne die Regeln leider nicht, muss ich wenn das

Mb<0 fĂŒr diesen balken das oben Zug und unten Druck Spannungen vorliegen 

nicht zutrifft was anders beachten?


Ebenso wollte ich dich noch fragen was mit maximaler Abstand der neutraler faser gemeint ist, ich nehme du hast sozusagen die Dicke anhand des rechten Balkens der ĂŒber steht entnommen?



Ich danke dir vielmals Werner!!


Gruß Tekto

Hallo Tekto,

Habe ich richtig verstanden das ich durch den B schneide und mir dann sozusagen den linken Teil gar nicht mehr anschaue?

Ja genau - ist auch nicht nötig. Soweit ich die Aufgabestellung verstanden habe, sollst Du auch nur die Spannungen im Schnitt \(B\) berechnen.


Ebenso wollte ich fragen, woher die Bz und By beim freischneiden kommen?

Ich hoffe ich habe die Frage richtig verstanden! Das sind die SchnittkrĂ€fte (Normalkraft, Querkraft und Biegemoment) .. oder worauf lĂ€uft die Frage hinaus?


Sind diese KrÀfte wie die Normalkraft sowie Querkraft gleich zu setzen?

Nein natĂŒrlich nicht! Die Normalkraft wirkt in LĂ€ngsrichtung des Balkens (hier \(B_x\)) und die Querkraft (hier \(B_y\)) senkrecht dazu. Wieso sollten die gleich sein?


Ich kenne die Regeln leider nicht, muss ich wenn das
Mb<0 d.h. fĂŒr diesen Balken, dass oben Zug und unten Druck Spannungen vorliegen
nicht zutrifft was anders beachten?

Das ist keine Regel, sondern eine physikalische Tatsache. Gerade bei diesen verhĂ€ltnismĂ€ĂŸig einfachen(!) Aufgaben solltest Du eine Vorstellung davon haben, wie die Spannungen im Material verlaufen. Und zwar ganz unabhĂ€ngig von irgendwelchen Berechnungen.

Nehme z.B. ein Radiergummi, spanne es in in einen Schraubstock, so dass noch ein guter Teil des Gummis oben heraus schaut, und belaste es quer zur Einspannrichtung. D.h. drĂŒcke einfach mit dem Finger dagegen. Das Gummi wird nachgeben. Nun schau Dir an, wo sich das Material dehnt und wo es gestaucht wird. Da wo es sich dehnt, herrschen Zugspannungen und da wo es gestaucht wird, Druckspannungen.

So etwas solltest Du Dir ohne weiteres im Kopf vorstellen können. Falls Du damit Probleme hast, solltest Du IMHO noch mal darĂŒber nachdenken, ob Du die fĂŒr Dich richtige Ausbildung gewĂ€hlt hast!

Hier ist das Ă€hnlich. Beide KrĂ€fte erzeugen ein positives Moment (positv im Sinne des gewĂ€hlten Koordinatensystems!) d.h. der Balken wird nach unten gebogen. Oben im Balken mĂŒssen also Zug- und unten Druckspannungen vorliegen. Damit die Momentensumme in \(B\) wieder gleich 0 ist, muss das \(M_B\) folglich negativ sein.


Ebenso wollte ich dich noch fragen, was mit maximaler Abstand der neutraler Faser gemeint ist, ...

Die 'neutrale Faser' ist der Teil eines Biegebalken, in dem bei reiner Biegebelastung keine Zug- oder Druckspannungen auftreten. Ausgehend von der neutralen Faser nehmen die Zugspannungen gegen und die Druckspannungen in Biegerichtung zu. Und dies geschieht linear. Siehe z.B. hier. D.h. umso weiter das Material von der neutralen Faser entfernt ist, desto grĂ¶ĂŸer wird die Spannung darin.

Bei symmetrischen Profilen (so wie hier) liegt die neutrale Faser in der Balkenmitte. Und folglich ist der maximale Abstand (und damit der Ort der grĂ¶ĂŸten Spannung!) die halbe Balkenhöhe \(h/2\).

Hallo Werner,


Ich habe mir mal die Aufgabe mal angeschaut, weil ich so eine Ă€hnliche lösen wollte, nur fĂŒrs VerstĂ€ndis: Ist hier das MB nicht=-2Fa?


Wenn ich nach rechts drehe hat ja 2F den Hebelarm a/2 , weil das ja der kĂŒrzester abstand zum Moment ist. Sobald die Kraft unten auf dem Balken liegt, geht ja praktisch die Wirkungslinie in das Moment rein. und F nur den Hebelarm a oder? Somit komme ich auf Fa+Fa, danach umgestellt = -2Fa


Oder irre ich mich da?


Und hier wird doch nach dem schneiden, das „Rechte Schnittufer“ betrachtet? Dann wĂ€re ja laut dessen BZ nach oben gehen und BY nach links?

Ist ja eigentlich egal, weil die Vorzeichen ja am Ende keine rolle spielen, nur fĂŒrs VerstĂ€ndnis. Ich danke dir schon mal jetzt fĂŒr deine Antwort



Gruß Marko

Hallo Marko,

Ich habe mir mal die Aufgabe mal angeschaut, weil ich so eine Ă€hnliche lösen wollte, nur fĂŒrs VerstĂ€ndis: Ist hier das MB nicht=-2Fa?

Ja - gut dass einer aufpasst. Danke dafĂŒr!

Es muss \(-2Fa\) heißen. Ich korrigiere das in meiner Antwort.

Und hier wird doch nach dem schneiden, das „Rechte Schnittufer“ betrachtet? Dann wĂ€re ja laut dessen BZ nach oben gehen und BY nach links?

Das ist davon abhÀngig, welches der beiden Schnittufer man als positives Schnittufer definiert. Wichtig ist dabei nur, dass man innerhalb eines Schnitts beide Schnittufer unterschiedlich definiert - eines positiv das andere negativ. Sonst wÀre die KrÀfte- und Momentensumme innerhalb des Schnitts nicht 0. Ich habe in diesem Fall das rechte (implizit) als das positive angenommen.

Hallo Werner, könntest du mir sagen, inwiefern, die Vorzeichen eine Rolle spielen? Das Moment, war bzw ist ja negativ, heißt im Umkehrschluss das auch sigma max, negativ sein muss, da du hier ja MB eingesetzt hast. Sigma Zug mĂŒsste ja auch negativ sein, da du hier den negativen wert von BY eingesetzt hast. Heißt theoretisch oben: -1,2-0,1=-1,3 und fĂŒr unten : -1,2-(-0,1)=-1,1?


GrĂŒĂŸe Tim

Hallo Tim,

könntest du mir sagen, inwiefern, die Vorzeichen eine Rolle spielen?

Es spielt natĂŒrlich eine Rolle, aber ...

Das Moment, war bzw ist ja negativ, heißt im Umkehrschluss das auch sigma max, negativ sein muss, da du hier ja MB eingesetzt hast.

Nein, dass ist nicht so! Die Gleichung $$\sigma_{\max} = \frac{M_B}{W_x}$$ enthÀlt mit dem \(W_x\) auch ein \(a_{\max}\), was den maximalen Abstand von Material zur neutralen Faser angibt. Und dieses \(a_{\max}\) kann sowohl negativ, als auch positiv sein. Bei diesem Zusammenhang sind nur die BetrÀge von Bedeutung.

Heißt theoretisch oben: -1,2-0,1=-1,3 und fĂŒr unten : -1,2-(-0,1)=-1,1?

Das kann nun gar nicht sein, da hier die Biegespannungen ĂŒberwiegen und folglich muss auf einer Seite eine Zug- und auf der anderen eine Druckspannung anliegen. Die Vorzeichen sind also in jedem Fall unterschiedlich.


Wenn Du das Vorzeichen wirklich berĂŒcksichtigst, musst Du es immer(!) berĂŒcksichtigen. Ich habe die KrĂ€fte und Momente so definiert, wie sie auf das rechte TeilstĂŒck wirken. D.h. man kann sie direkt in die Spannungen 'ĂŒbersetzen'. Ich betrachte jetzt nur das Moment \(M_B\) und dies kann ich durch die Summe aller Spannungen ersetzen. Ich definiere zunĂ€chst noch Zug als positiv. Dann ist (\(A\) ist der Querschnitt):

$$M_B = \int_A \sigma(z) \cdot z \, \mbox{d}A$$ Der Ansatz fĂŒr Biegespannungen ist nun \(\sigma(z) = k \cdot z\). Damit impliziere ich, dass die neutrale Faser bei \(z=0\) liegt. Jetzt ist noch \(\mbox{d}A = b \cdot \mbox{d}z\) (\(b\) sei die Balkenbreite) und weil wir einen rechteckigen Querschnitt haben und \(h\) die Höhe ist, lĂ€uft \(z\) von oben \(z=-h/2\) bis unten \(z=h/2\). Alles zusammen:

$$M_B = b \cdot \int_{-h/2}^{+h/2} kz^2 \, \mbox{d}z = \frac{k b h^3}{12}$$ bzw. $$k = \frac{12 M_B}{bh^3} \lt 0 \quad \text{da} \space M_B \lt 0$$ Jetzt kann ich die Spannungen berechnen - z.B. fĂŒr oben (\(z=-h/2\)):$$ \sigma_{\mbox{oben}} = k \cdot \frac{-h}{2} = \frac{-6}{bh^2} M_B \gt 0 \quad \text{da } \space M_B \lt 0$$ Na - erkennst Du das \(W_x\) wieder? Und oben im Balken ist die Spannung positiv, es liegt also eine Zugspannung vor.

Ja - und jetzt siehst Du vielleicht warum man sich das im Normalfall spart. Im Allgemeinen ist bei Problemstellungen dieser Art klar welche Belastungen wo Zug- und wo Druckspannungen verursachen. \(W_x\) ist auch bekannt und man kann sich den Aufwand sparen alles 'zu Fuß' nachzurechnen, nur um am Ende die Vorzeichen zu erhalten, die man schon vorher wusste.

Gruß Werner

PS.: fĂŒr Deine Frage hatte ich leider noch keine Zeit gefunden, zumal die Antwort fĂŒr mich recht zeitintensiv wĂ€re.

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