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Benötige dringend Hilfe bei folgender Textaufgabe!!

Ein Block mit einer Masse von 2,0 kg wird aus einer Höhe von 40 cm auf eine Feder mit D = 1960 N/m fallen gelassen.

a) Bestimmen Sie die maximale Auslenkung um die die Feder zusammengedrückt wird.

b) In welchem Abstand von der Ausgangslage erreicht der Block seine Maximalgeschwindigkeit?

c) Wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit?


Vielen Dank im Voraus.

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Hallo Felix,

solche Aufgabe löst man besten über die Energieerhaltung.

a) Die Potentielle Energie der Masse ist am Anfang der Bewegung \(E=E_{pot} = m \cdot g \cdot h\). Wobei \(h\) der Abstand der Masse zum Zeitpunkt \(t=0\) über der entspannten Feder ist. Ist die Feder durch das Auftreffen der Masse um den Weg \(s\) zusammen gedrückt, so ist die dort gespeicherte Energie \(E_F=\frac12 D \cdot s^2\). Bleibt noch zu berücksichtigen, dass die potentielle Energie, die in Federenergie umgesetzt wird, noch proportional zur zusammengedrückte Strecke ansteigt. Es ist also:

$$ \begin{aligned} m \cdot g \cdot (h+s) &= \frac12 \cdot D \cdot s^2 \\ 0 &= \frac12 \cdot D \cdot s^2 - m \cdot g \cdot s - m \cdot g \cdot h \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Rightarrow s_{1,2} &= \frac{mg \pm \sqrt{(mg)^2 + 2mghD}}{D} \\ &= \frac{2 \cdot 9,81 \text{N} \pm \sqrt{(2 \cdot 9,81 \text{N})^2 + 4 \cdot 9,81 \text{N} \cdot 0,4 \text{m}\cdot 1960 \frac{\text{N}}{\text{m}}}}{1960 \frac{\text{N}}{\text{m}}} \\ &\approx  0,01 \text{m} \pm 0,09 \text{m} \end{aligned}$$ da \(s>0\) sein muss, bleibt nur die Lösung \(s=s_1 \approx 0,01\text{m} + 0,09\text{m} = 0,1\text{m}\).


b) die maximale Geschwindigkeit erreicht die Masse genau dann, wenn sie gerade nicht durch die Feder abgebremst wird; d.h. die Federkraft muss gleich der Gewichtskraft sein. Also

$$D \cdot s = m \cdot g \quad \Rightarrow s = \frac{m \cdot g}{D} = \frac{2 \cdot 9,81 \text{N}}{1960 \frac{\text{N}}{\text{m}}} \approx 0,01\text{m}$$ Die Feder muss als ca. \(1\text{cm}\) zusammen gedrückt sein, wenn die Masse ihre Maximalgeschwindigkeit erreicht.


c) wieder über die Energieerhaltung. Die potentielle Energie wurde in Geschwindigkeits- und Federenergie umgesetzt - also:

$$m \cdot g \cdot (h + s) = \frac12 m \cdot v^2 + \frac12 D \cdot s^2$$

$$\Rightarrow v = \sqrt{ \frac{m \cdot g \cdot (h + s)  - \frac12 D \cdot s^2}{ \frac12 m} } = \sqrt{ 2g \cdot (h + s)  - \frac{D}{m} \cdot s^2} \approx 6,27 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Gruß Werner

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