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Guten Abend zusammen,

ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter und bitte deshalb um Hilfe. Eine Erklärung wäre super.
Gruß

1) Ein Proton, das sich in einem eindimensionalen Potenzialkasten der Kantenlänge L = 10-14 m mit unendlich hohen Wänden befindet, wird durch die Wellenfunktionen ψn(x) = √(2/L) · sin ((nπx)/L) beschrieben.
a) Bestimmen Sie die 1.Anregungsenergie des Protons ΔE = E2 - E1 und die Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung, die Sie zu dieser Anregung benötigen.
b) Zeigen Sie, dass ψn(x) keine Eigenfunktion des Impulsoperators ist.Hinweis: Es gilt sin2α = 1/2 (1 - cos2α)

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Hallo,

bei a) nutzt du die Schrödingergleichung und setzt dort die Funktion ein, um die Energiewerte zu berechnen.

Beim zweifachen Ableiten bekommt man einen Faktor der inneren Ableitung, danach kürzt sich die Ausgangsfunktion.

Am Ende brauchst du die Werte bloß noch einsetzen und ausrechnen, hab ich jetzt nicht extra gemacht.

bei b) zeigst du, dass die Funktion die zugehörige Eigenwertgleichung nicht erfüllt, der Eigenwert a soll konstant sein.

$$(a)\\\hat{H}{ \psi }_{ n}={ E }_{ n}{ \psi }_{ n}\\-\frac { \hbar^2 }{ 2m }\frac { d^2 }{ dx^2 }{ \psi }_{ n}={ E }_{ n}{ \psi }_{ n}\\-\frac { \hbar^2 }{ 2m }\frac { -n^2\pi^2 }{ L^2 }={ E }_{ n}\\\frac { \hbar^2n^2\pi^2 }{ 2mL }=\frac { h^2n^2 }{ 8mL }={ E }_{ n}\\{ E }_{ 2}-{ E }_{ 1}=\frac { h^2}{ 8mL }(2^2-1^2)=\frac { 3h^2}{ 8mL }\\{ E }_{ 2}-{ E }_{ 1}=\frac { 3h^2}{ 8mL }=\frac { hc }{ \lambda }\\\lambda=\frac { 8mLc}{ 3h}\\(b)\\\hat{p}{ \psi }_{ n}=a{ \psi }_{ n}\\-i\hbar\frac { d }{ dx }{ \psi }_{ n}=a{ \psi }_{ n}\\-i\hbar\frac { n\pi }{ L }cos(\frac { n\pi x }{ L })=asin(\frac { n\pi x }{ L })\\a=-i\hbar\frac { n\pi }{ L }cot(\frac { n\pi x }{ L })\neq const.\\{ \psi }_{ n}\text{ --> keine Eigenfunktion zu }\hat{p} $$

von 2,0 k

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