+1 Daumen
2,6k Aufrufe

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit der Technischen Mechanik 1. Folgende Aufgabe ist sinngemäß wiedergegeben aus dem Buch: "Technische Mechanik Teil 1 Statik" von Holzmann, Meyer, Schumpich, Teubner, 2. Auflage von 1970. Es wird daher noch mit der Krafteinheit Kilopond gerechnet.

Die Lösungen laut dem Buche sind folgende: F12 = 65,3 kp   ,    F23 = 64,8 kp   ,   S = 86,6 kp

Ich habe mir mal die Arbeit gemacht und ein Bild (unter oben genannter Urheberrechtsberücksichtigung) erstellt, um meine Vorstellung zu erläutern:

Bild Mathematik Nun folgt mein Rechenweg:

Zunächst soll der Winkel alpha bestimmt werden:

Aus der Geometrie erhalte ich ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse (Radius des Rohres 1 + Radius des Rohres 3) und Gegenkathete ( r 3 ) zum eingezeichneten Winkel gegeben sind, daraus erhalte ich mit Hilfe des Sinus m.E.n. alpha:

$$ \alpha=arcsin(\frac { r3 }{ r3+r1 })=arcsin(\frac { 1 }{ 3 })=19,47122063 \,grad $$

Zur Ermittlung der gesuchten Kontaktkräfte zwischen den Rohren werden die Gleichgewichtsbedingungen an den einzelnen Rohren aufgestellt (zentraler Kraftangriffspunkt seien jeweils die Kreismittelpunkte):

Rohr 1:


$$ \sum F_ix=0=N_1\cdot sin \alpha-N_2\cdot sin \alpha$$
$$\Rightarrow N_1 = N_2$$
$$\sum F_iy=0=N_1\cdot cos \alpha+N_2\cdot cos \alpha - G_1 \,\,\,|\,N_1=N_2$$
$$\Rightarrow N_1\cdot cos \alpha+N_1\cdot cos \alpha - G_1=0$$
$$\Rightarrow N_1\cdot (cos \alpha+cos \alpha)=G_1 $$
$$\Rightarrow N_1=\frac { G_1 }{ (cos\alpha+cos \alpha)}=\frac { G_1 }{ 2 \cdot cos \alpha }$$
$$\Rightarrow N_1 = N_ 2=\frac { 100\, kp }{ 2\cdot cos(19,471^\circ) }=53,0329\,kp$$

Rohr 2:

$$ \sum F_ix=0 =-N_1\cdot sin \alpha - N_3$$
$$\Rightarrow N_3=-N_1\cdot sin\alpha = - 53,0329\,kp \cdot sin(19,471^\circ)=-17,67744079$$

Stimmts das soweit? Mir bleiben die Lösungen irgendwie unschlüssig, ich bekomme hier etwas anderes heraus. Vielleicht befindet sich ja auch ein Mechanik-Student oder dem Thema Vertrauten und könnte mir hier weiterhelfen (vielleicht hätte ich auch die Kontaktkräft zwischen Seil und Rohre mit berücksichtigen müssen, aber dann hätte ich 4 Unbekannte und zwei Gleichungen pro Rohr...?).

Ist wohl etwas viel geworden =D

Danke schonmal für Eure Hilfe

von
Hallo,
hier bin ich nochmal und habe mir heute Zeit genommen, meinen Lösungsvorschlag hier zu erläutern.
Laut meiner Google - Suche haben sich viele die Frage gestellt, wie man diese Aufgabe rechnerisch zu lösen vermag.
Vielleicht helfe ich somit Ratsuchenden, die sich mit genau einer solchen Aufgabe "herumschlagen", hiermit weiter. Ich freue mich, dass ich hiermit meinen Beitrag posten kann!

Nun gut, jetzt gehts los - Kritik ist willkommen!

Die Aufgabenstellung ist es, die Spannkraft im Seil sowie die Kontaktkräfte, die die Rohre einander ausüben, zu ermitteln:

Gegeben sind die Gewichtskräfte der drei Rohre und deren Durchmesser (s.o.):

Zunächst einmal berechnen wir die Seilkräfte (Spankräfte):

Hierzu ermitteln wir die Resultierende der drei Gewichtskräfte der Rohre:

Die Bedingung hierfür lautet:
$$ G_R=\sum Fiy=-G_1-G_2-G_3=-100\,kp-25\,kp-25\,kp=-150\,kp $$

GR liegt auf der Symmetrielinie (in vertikaler Richtung) und kann zum Kraftangriffspunkt des Seils verschoben werden (Verschiebungsaxiom der Statik - eine Kraft kann entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden).

Nun schneiden wir das Seil frei:

Bild Mathematik
Um die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen zu können, legen wir ein Koordinatensystem an, dessen Ursprung im Kraftangirffspunkti der Kräfte liegen soll:

Die Gleichgewichtsbedingungen lauten:

Allen Kräfte (Kraftkomponenten) in x - Richtung und y_Richtung  gleich Null:
$$\sum Fix=0\,\,\,\,\,,\,\sum Fiy=0$$ (Kräfte lassen sich in Komponenten zerlegen).

$$\sum Fix=0=-S_1 \cdot sin( 30^\circ)+S_2 \cdot sin( 30^\circ)$$
$$\Rightarrow S_1=S_2=S$$
$$\sum Fiy=0=- S_1 \cdot cos(30^\circ)-S_2 \cdot cos(30^\circ)-G_R \,\,\,\,|S_1=S_2=S$$
$$\sum Fiy=0=- S \cdot cos(30^\circ)-S \cdot cos(30^\circ)-G_R $$
$$0= -S \cdot (cos(30^\circ)+cos(30^\circ))-G_R$$
$$\Rightarrow S=\frac{-G_R}{2 \cdot cos(30^\circ)}=\frac { -(-150\,kp) }{ 2 \cdot cos(30^\circ) }=50\cdot \sqrt{3}\,kp=\underline{\underline {86,60254038\,kp}}$$

Somit habe wir die Spannkraft berechnet und können diese im nächsten Schritt mitberücksichtigen:
Der nächste Schritt liegt darin, das System mit den drei Rohren zu betrachten und diese von einander zu befreien - d.d wir schneiden das System frei:
Bild Mathematik

GEsucht sind nun die Kontaktkräfte N_1, N_2 und N_3, die jeweils senkrecht zur Kontaktoberfläche stehen:
Zur Bestimmung dieser genügt es, sich geschickterweise Rohr 2 oder 3 genauer anzuschauen:

Wegen der Symmetrie können wir sagen: N_1 = N_2

Das Rohe 3 frei geschnitten:
Bild Mathematik
Zunächst kann man Zeigen, dass durch die Seilkräfte kein Moment herrscht:

Sei der Bezugspunkt des Momentes gerade die Kugelmitte, so fallen die Kräfte G, N 2 und N 3 heraus, sie schneiden sich in diesem BEzugspunkt. Der Hebelarm der Seilkräfte sei gerade der Radius des Rohres. der Drehsinn sei positiv (d.h. gegen den Uhrzeigersinn gerichtet):
Momentenbilanzen um den Kreismittelpunkt 0:
$$ \sum M_i^0=S \cdot r_3-S \cdot r_3\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,S=S$$

Nun benötigen wir wieder für die Gleichgewichtsbedingungen ein Koordinatensystem, dessen Ursprung sich im zentralen Kraftangriffspunkt der Kräfte befindet, dem Kreismittelpunkt. Aufgrund dessen, dass der Hebelarme der Seilkrfte verschwindet, können wir uns die Seilkräfte in diesem Fall auf die jeweiligen Koorinaten achsen parallel verschieben, das erleichter die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen:

Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen in x- und y-Richtung:

$$ \sum Fiy=0=S-N_2 \cdot cos\alpha-G_3 $$
$$\Rightarrow\,\,\, N_2=\frac { S-G_3 }{ cos\alpha}=\frac {86,6025\,kp-25\,kp}{ cos(19,4712^\circ) }=\underline{\underline{65,33930991\,kp}}$$
$$$$
$$\sum Fix=0=N_2 \cdot sin\alpha+N_3-S$$
$$\Rightarrow\,\,\,N_3=-N_2 \cdot sin \alpha + S = -65,33930991\,kp \cdot sin(19,4712^\circ)+86,6025\,kp = \underline{\underline{64,82283402\,kp}}$$

Das wars dann acuh schon =D

Hallo erstmal, bin an dieser Aufgabe hier hängen geblieben. Da ich sehe, dass du viel begabter als ich bist frag ich ob du es schaffst diese Aufgabe zu lösen, weil meine Lösungsansätze haben mich nicht auf das Ergebnis geführt.

Foto am 20.03.19 um 14.29.jpg

Gute Idee, hier nochmals nachzufragen. Vielleicht erreichst du den damaligen Gast doch noch irgendwie. Antworten dann am besten gleich hier eingeben. https://www.nanolounge.de/21467/technische-mechanik-starre-bestehendes-gestange-gehangt

1 Antwort

+1 Daumen

Ist es eigentlich noch möglich, den Titel der Frage in "Drei Rohre in einer Seilschleife - Technische Mechanik 1" umzubenennen, damit die Google-Suche diesen Beitrag auflistet?

Wäre zumindest cool! So hat eben dieser Beitrag eine größere Breite und die Mühe und Arbeit hätte sich doppelt gelohnt!

Gruß

PS: Falls Interesse besteht, kann ich bei Gelegenheit einige weitere Aufgaben zur technischen Mechanik posten, mir macht das irgendwie Spaß =D

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Nanolounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community