+1 Daumen
2,4k Aufrufe

Aufgabe Wheatstone-Brückenschaltung:

Die Schaltung in der Abbildung heißt Wheatstone-Brückenschaltung (nach Charles Wheatstone, 1802 - 1875). Sie wird verwendet, um präzise Widerstandsmessungen durchzuführen. Der gesuchte Widerstand ist R1. Widerstand R4 ist ein regelbarer Widerstand (Potentiometer). Zwischen die Punkte A und B (die "Brücke") schaltet man ein hochempfindliches Spannungsmessgerät. Wenn die Spannung \( U_{B}=0 \) ist, sagt man, dass die Brücke abgeglichen ist.

blob.png

Abbildung: Wheatstone-Messbrücke

1. Berechnen Sie \( U_{2} \) und \( U_{4} \) in Abhängigkeit der Spannung \( U \) sowie der Widerstände \( R_{1} \) bis \( R_{4} \).

2. Berechnen Sie \( U_{B} \) in Abhängigkeit der Spannung \( U \) sowie der Widerstände \( R_{1} \) bis \( R_{4} \).

3. Wie müssen die Widerstände gewählt werden, damit die Brücke abgeglichen ist?

4. Wie lässt sich dann der Wert von \( R_{1} \) ermitteln? (5P)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung von \(U_2\) und \(U_4\)

Zur Berechnung der Spannungen \(U_2\) und \(U_4\) verwenden wir das Ohmsche Gesetz (\(U=IR\)) in Kombination mit den Spannungsteilerregeln. Die Spannungsteilerregel besagt, dass die Spannung über einem Widerstand im Verhältnis zu den Gesamtwiderständen in der Reihe aufgeteilt wird.

Für \(U_2\) gilt:

\(U_2 = U \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}\)

Für \(U_4\) gilt:

\(U_4 = U \times \frac{R_4}{R_3 + R_4}\)

Berechnung von \(U_B\)

Die Spannung \(U_B\) ist die Differenz zwischen \(U_2\) und \(U_4\). Daher ergibt sich:

\(U_B = U_2 - U_4\)

Einsetzen der obigen Ausdrücke für \(U_2\) und \(U_4\) in \(U_B\) ergibt:

\(U_B = U \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} - U \times \frac{R_4}{R_3 + R_4}\)

\(U_B = U \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4} \right)\)

Bedingung für abgeglichene Brücke

Für eine abgeglichene Brücke gilt \(U_B = 0\). Daraus folgt:

\(\frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_4}{R_3 + R_4}\)

Umformen ergibt eine Beziehung zwischen den vier Widerständen:

\(R_1 R_4 + R_2 R_4 = R_2 R_3 + R_2 R_4\)

Da \(R_2 R_4\) auf beiden Seiten der Gleichung steht, kann man es kürzen und erhält:

\(R_1 R_4 = R_2 R_3\)

Diese Gleichung kann dann weiter umgeformt werden zu einem Ausdruck, der \(R_1\) isoliert, falls die anderen drei Widerstandswerte bekannt sind:

\(R_1 = \frac{R_2 R_3}{R_4}\)

Ermittlung von \(R_1\)

Sobald die Brücke abgeglichen ist und somit keine Spannung \(U_B\) mehr besteht, kann der Wert von \(R_1\) durch einfaches Umstellen und Einsetzen der bekannten Werte von \(R_2\), \(R_3\) und \(R_4\) ermittelt werden. Man verwendet dazu die oben hergeleitete Gleichung:

\(R_1 = \frac{R_2 R_3}{R_4}\)

Diese Gleichung ermöglicht es, \(R_1\) zu bestimmen, ohne dass eine direkte Messung vorgenommen werden muss, was besonders bei präzisen oder schwer messbaren Widerständen von Vorteil ist.
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Nanolounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community