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Aufgabe Wheatstone-Brückenschaltung:

Die Schaltung in der Abbildung heißt Wheatstone-Brückenschaltung (nach Charles Wheatstone, 1802 - 1875). Sie wird verwendet, um präzise Widerstandsmessungen durchzuführen. Der gesuchte Widerstand ist R1. Widerstand R4 ist ein regelbarer Widerstand (Potentiometer). Zwischen die Punkte A und B (die "Brücke") schaltet man ein hochempfindliches Spannungsmessgerät. Wenn die Spannung \( U_{B}=0 \) ist, sagt man, dass die Brücke abgeglichen ist.

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Abbildung: Wheatstone-Messbrücke

1. Berechnen Sie \( U_{2} \) und \( U_{4} \) in Abhängigkeit der Spannung \( U \) sowie der Widerstände \( R_{1} \) bis \( R_{4} \).

2. Berechnen Sie \( U_{B} \) in Abhängigkeit der Spannung \( U \) sowie der Widerstände \( R_{1} \) bis \( R_{4} \).

3. Wie müssen die Widerstände gewählt werden, damit die Brücke abgeglichen ist?

4. Wie lässt sich dann der Wert von \( R_{1} \) ermitteln? (5P)

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Antwort mit KI erzeugt

Berechnung von \(U_2\) und \(U_4\)

Zur Berechnung der Spannungen \(U_2\) und \(U_4\) verwenden wir das Ohmsche Gesetz (\(U=IR\)) in Kombination mit den Spannungsteilerregeln. Die Spannungsteilerregel besagt, dass die Spannung über einem Widerstand im Verhältnis zu den Gesamtwiderständen in der Reihe aufgeteilt wird.

Für \(U_2\) gilt:

\(U_2 = U \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}\)

Für \(U_4\) gilt:

\(U_4 = U \times \frac{R_4}{R_3 + R_4}\)

Berechnung von \(U_B\)

Die Spannung \(U_B\) ist die Differenz zwischen \(U_2\) und \(U_4\). Daher ergibt sich:

\(U_B = U_2 - U_4\)

Einsetzen der obigen Ausdrücke für \(U_2\) und \(U_4\) in \(U_B\) ergibt:

\(U_B = U \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} - U \times \frac{R_4}{R_3 + R_4}\)

\(U_B = U \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4} \right)\)

Bedingung für abgeglichene Brücke

Für eine abgeglichene Brücke gilt \(U_B = 0\). Daraus folgt:

\(\frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_4}{R_3 + R_4}\)

Umformen ergibt eine Beziehung zwischen den vier Widerständen:

\(R_1 R_4 + R_2 R_4 = R_2 R_3 + R_2 R_4\)

Da \(R_2 R_4\) auf beiden Seiten der Gleichung steht, kann man es kürzen und erhält:

\(R_1 R_4 = R_2 R_3\)

Diese Gleichung kann dann weiter umgeformt werden zu einem Ausdruck, der \(R_1\) isoliert, falls die anderen drei Widerstandswerte bekannt sind:

\(R_1 = \frac{R_2 R_3}{R_4}\)

Ermittlung von \(R_1\)

Sobald die Brücke abgeglichen ist und somit keine Spannung \(U_B\) mehr besteht, kann der Wert von \(R_1\) durch einfaches Umstellen und Einsetzen der bekannten Werte von \(R_2\), \(R_3\) und \(R_4\) ermittelt werden. Man verwendet dazu die oben hergeleitete Gleichung:

\(R_1 = \frac{R_2 R_3}{R_4}\)

Diese Gleichung ermöglicht es, \(R_1\) zu bestimmen, ohne dass eine direkte Messung vorgenommen werden muss, was besonders bei präzisen oder schwer messbaren Widerständen von Vorteil ist.
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