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Aufgabe (Digital/Analog-Wandlung)

Die Abbildung 3 zeigt ein R2R-Netzwerk, das aus Widerständen mit den Werten \( R \) und \( 2 R \) aufgebaut ist. Es setzt digitale Werte in eine Analogspannung um (D/A-Wandler). Die Spannung \( U_{i} \) jedes Wandlereingangs nimmt im Betrieb entweder den Wert \( 0 V \) (digital: 0 ) oder den Wert 2,5 V (digital: 1) an. Es gilt \( R=100 \Omega \).

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Abbildung: R2R-Netzwerk

1. Leiten Sie eine Gleichung für die resultierende Spannung \( U_{\text {out }} \) her, für den Fall, dass \( U_{2}= \) \( U_{3}=U_{4}=0 \mathrm{~V} \) gilt. (8P)

Hinweis: Der Referenzpunkt für alle Spannungen ist die Masse ( \( 0 \mathrm{~V}) \)

2. Berechnen Sie \( U_{\text {out }} \) für den Fall \( \left[U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}\right]=" 1000 " \). (2P)

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1. Leiten Sie eine Gleichung für die resultierende Spannung \( U_{\text {out }} \) her, für den Fall, dass \( U_{2}=U_{3}=U_{4}=0 \mathrm{~V} \) gilt.

Ein R2R-Netzwerk ist ein digital-analoger Wandler, bei dem digitale Eingangssignale in analoge Ausgangssignale umgesetzt werden. Die Tatsache, dass \( U_{2} = U_{3} = U_{4} = 0 \, \mathrm{V} \) sind, vereinfacht das Problem, indem sie diese Eingänge im Grunde ignoriert und nur \( U_{1} \) als aktiven Eingang betrachtet.

Das R2R-Netzwerk besteht aus einer Widerstandsleiter, die aus Widerständen mit Werten \( R \) und \( 2R \) aufgebaut ist. Die Analyse dieser Schaltung fokussiert sich auf das Prinzip der Spannungsteilung.

Wenn \( U_{1} = 2.5 \, \mathrm{V} \) und die anderen Spannungen \( U_{2}, U_{3}, U_{4} = 0 \, \mathrm{V} \) sind, kann man die resultierende Spannung \( U_{\text{out}} \) wie folgt berechnen, indem man die Eigenschaften des R2R-Netzwerks und der Spannungsteilerregel nutzt.

Die besondere Struktur eines R2R-Leiternetzwerkes führt dazu, dass jede "Stufe" der Leiter dazu beiträgt, die Eingangsspannung zu halbieren, unabhängig davon, wie viele Stufen vorhanden sind. Dies liegt daran, dass in jeder Stufe der kombinierte Widerstand, gesehen von jedem Punkt zwischen den "R" und "2R" Widerständen bis hin zum Ausgang, immer gleich ist und effektiv einen unendlichen Kettenwiderstand darstellt.

Für \( U_{1} \) als aktiven Eingang, und wenn der digitale Wert 1 beträgt (2,5 V), wird die Spannung durch die R2R-Struktur bis zum \( U_{\text{out}} \) halbiert. Hier ist der Prozess:

- An \( U_{1}\): Volle Eingangsspannung von 2,5V.
- Nach der ersten Stufe (bei \( U_{1} \) beginnend): Die Spannung wird halbiert.
- Am Ausgang \( U_{\text{out}} \) halten wir eine weitere Halbierung aufrecht, denn jede "1" in der digitalen Repräsentation führt dazu, dass die Spannung in dieser Weise reduziert wird.

Die Spannung an \( U_{\text{out}} \), wenn nur \( U_{1} = 2.5 \, \mathrm{V} \) und \( U_{2} = U_{3} = U_{4} = 0 \, \mathrm{V} \), kann als ein Viertel der Spannung von \( U_{1} \) betrachtet werden, da sie durch zwei Stufen im Netzwerk geht (Das R2R-Netzwerk an \( U_{1} \) und dann durch die restliche Struktur zum Ausgang). Daher:

\( U_{\text{out}} = \frac{U_{1}}{4} = \frac{2,5 \, \mathrm{V}}{4} = 0,625 \, \mathrm{V} \)

2. Berechnen Sie \( U_{\text {out }} \) für den Fall \( \left[U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}\right]= "1000" \).

Unter Verwendung der bereits abgeleiteten Formel und der Tatsache, dass \( U_{1} = 2.5 \, \mathrm{V} \) und \( U_{2} = U_{3} = U_{4} = 0 \, \mathrm{V} \), da "1000" bedeutet, dass nur \( U_{1} \) auf 1 gesetzt ist und der Rest auf 0:

\( U_{\text{out}} = \frac{U_{1}}{4} = \frac{2,5 \, \mathrm{V}}{4} \)

\( U_{\text{out}} = 0,625 \, \mathrm{V} \)

Somit beträgt die resultierende Ausgangsspannung \( U_{\text{out}} = 0,625 \, \mathrm{V} \) unter der gegebenen Konfiguration.
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