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Ein kleiner Junge mit der Masse=20kg klettert ein masseloses Seil hinauf, das reibungsfrei über den Querbalken eines Klettergeräts verläuft. Das Seil ist an seinem Ende an einem auf dem Boden stehenden Wassertrog, Masse 30kg befestigt.

a) Wie groß muss der Betrag der Beschleunigung des Jungen mindestens sein, damit er den Wassertrog vom Boden anheben kann?

b) Nachdem er den Wassertrog angehoben hat, hört der Junge auf zu klettern und hält sich am Seil fest. Geben Sie die Beschleunigung (Betrag und Richtung) an, die dann auf den Jungen wirkt.

c) Wie groß ist im Fall b) die Zugspannung?

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Teil a: Betrag der Beschleunigung des Jungen

Um zu bestimmen, wie groß der Betrag der Beschleunigung des Jungen mindestens sein muss, um den Wassertrog anzuheben, betrachten wir die Kräfte, die auf den Trog wirken. Die einzige Kraft, die den Trog nach oben zieht, ist die Zugkraft des Seils, die gleich der Gewichtskraft des Jungen ist, wenn der Trog gerade angehoben wird. Zu diesem Punkt muss die resultierende Kraft auf den Trog gleich null sein, da er sich an der Schwelle zur Bewegung befindet (angenommen, er bewegt sich noch nicht).

Die Gewichtskraft des Jungen (\(F_{g, Junge}\)) wird durch \(F_{g, Junge} = m_{Junge} \cdot g\) berechnet, wobei \(m_{Junge} = 20\,\text{kg}\) die Masse des Jungen und \(g = 9,81\,\text{m/s}^2\) die Erdbeschleunigung ist.

Um den Trog anzuheben, muss die Zugkraft des Jungen größer als die Gewichtskraft des Trogs sein. Die Gewichtskraft des Trogs (\(F_{g, Trog}\)) ist \(F_{g, Trog} = m_{Trog} \cdot g = 30\,\text{kg} \cdot 9,81\,\text{m/s}^2\).

Setzt man die Gewichtskraft des Jungen gleich der Gewichtskraft des Trogs, erhält man die erforderliche Beschleunigung \(a\), da der Junge diese Beschleunigung überwinden muss, um den Trog anzuheben. Da aber die Gewichtskraft des Jungen konstant ist und nicht durch seine Beschleunigung beeinflusst wird, ist die Überlegung hier, dass die Beschleunigung des Jungen eine Zugkraft erzeugen muss, die ausreicht, um den Trog anzuheben.

Allerdings wurde in dieser Aufgabe nach der Beschleunigung des Jungen gefragt, die den Trog anhebt, was eigentlich einen dynamischen Ansatz erfordert, indem die Kräfte miteinander in Beziehung gesetzt werden. Da die Frage aber die Mindestbeschleunigung des Jungen erfragt, die nötig ist, um den Trog anzuheben, und nicht direkt auf die Zugkraft eingeht, scheint eine Fehlinterpretation meinerseits in der Erklärung vorzuliegen. In Wirklichkeit ist die Frage nach der Beschleunigung, die nötig ist, um das System aus dem Gleichgewicht zu bringen, wobei die Beschreibung etwas verwirrend formuliert wurde.

Die korrekte Überlegung sollte also sein, dass die Gesamtbeschleunigung des Systems betrachtet werden muss, wobei die Aufwärtsbewegung des Jungen eine gleich große, aber entgegengesetzte Reaktion des Trogs bewirkt.

Die Mindestbeschleunigung, um den Wassertrog anzuheben, wird jedoch tatsächlich durch das Verhältnis der Kräfte und Massen bestimmt, wobei in dieser spezifischen Fragestellung die physische Anwendung bezüglich der Beschleunigung des Jungen unklar bleibt, da es keine expliziten Informationen darüber gibt, wie die Beschleunigung messbar auf das Anheben des Trogs einwirkt, ohne die üblichen Gleichgewichtsbedingungen und Newton's Gesetze direkt anzuwenden.

Teil b: Beschleunigung des Jungen

Nachdem der Junge den Wassertrog angehoben hat und aufhört zu klettern, wirken auf ihn nur die Schwerkraft und die Zugkraft des Seils. Die Schwerkraft wirkt auf ihn mit \(F_{g, Junge} = m_{Junge} \cdot g\). Da er in diesem Moment nicht klettert, ist die Beschleunigung, die auf den Jungen wirkt, 0 \(m/s^2\), solange keine andere äußere Kraft wirkt.

Teil c: Zugspannung im Seil im Fall b)

Wenn der Junge aufhört zu klettern und sich am Seil festhält, dann ist die Zugspannung im Seil gleich der Summe der Gewichtskräfte von Junge und Wassertrog, da das System in Ruhe ist und keine Beschleunigung erfährt.

\(F_{Zug} = F_{g, Junge} + F_{g, Trog} = (m_{Junge} + m_{Trog}) \cdot g\)

Setzen wir die bekannten Werte ein:

\(F_{Zug} = (20\,\text{kg} + 30\,\text{kg}) \cdot 9,81\,\text{m/s}^2 = 50\,\text{kg} \cdot 9,81\,\text{m/s}^2 = 490,5\,\text{N}\)

Die Zugspannung im Seil, während der Junge sich festhält, beträgt also \(490,5\,\text{Newton}\).

Diese Analyse nimmt eine idealisierte Situation an und ignoriert mögliche beschleunigungsbedingte Anpassungen der Spannkraft, während der Junge noch in Bewegung ist.
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