Antwort mit KI erzeugt
Leitung der Gleichung für \( U_{\text{out}} \)
Da \( U_{3} \) und \( U_{4} \) gleich 0 sind, sind sie für die Berechnung der Ausgangsspannung nicht von Belang. Wir fokussieren uns somit auf \( U_{1} \) und \( U_{2} \). Das R2R-Netzwerk ist eine Form eines digital-analogen Umwandlers (DAC), der digitale Signale (in diesem Fall binäre Werte) in analoge Signale (Spannungen) umwandelt. Für die Herleitung nutzen wir die Idee, dass das R2R-Ladder-Netzwerk eine binäre gewichtete Umwandlung durchführt.
Bei einem R2R-Leiternetzwerk ist die Spannung am Ausgang \( U_{\text{out}} \) abhängig von den angelegten Spannungen (\( U_{1} \), \( U_{2} \), \( U_{3} \), \( U_{4} \)) und deren Stellung. Die Widerstände bilden Teiler für die Spannungen, sodass jede Eingangsspannung, die auf 1 gesetzt ist, einen bestimmten Anteil zur Ausgangsspannung beiträgt.
Wir wissen:
- \( R \) ist der Wert jedes Widerstands im Netzwerk.
- Der Wert von \( U_{i} \) ist entweder 0V oder 2,5V.
Da \( U_{3} = U_{4} = 0V \), und unter Vernachlässigung dieser Werte, die Ausgangsspannung \( U_{\text{out}} \) durch \( U_{1} \) und \( U_{2} \) mit einem bestimmten binären Gewicht beeinflusst wird. \( U_{1} \) hat ein höheres Gewicht als \( U_{2} \), da \( U_{1} \) weiter vom Ausgang entfernt ist.
Die binären Gewichte für \( U_{1} \) und \( U_{2} \) in einem 4-Bit R2R DAC sind der Reihe nach \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{8} \), \( \frac{1}{16} \), wobei das Gewicht von links nach rechts abnimmt. Da in dieser Betrachtung \( U_{3} \) und \( U_{4} = 0V \), tragen sie nicht zur Ausgangsspannung bei.
Für \( U_{\text{out}} \) erhalten wir daher:
\(
U_{\text{out}} = U_{1} \cdot \frac{1}{2} + U_{2} \cdot \frac{1}{4}
\)
Berechnung von \( U_{\text{out}} \) für \([U_{1}, U_{2}, U_{3},U_{4}]= "1000"\)
Gegeben \( [U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}] = "1000" \), bedeutet dies:
- \( U_{1} = 2,5V \)
- \( U_{2} = 0V \)
- \( U_{3} = 0V \)
- \( U_{4} = 0V \)
Einsetzen in die Gleichung:
\(
U_{\text{out}} = 2,5V \cdot \frac{1}{2} + 0V \cdot \frac{1}{4} = 1,25V
\)
Die resultierende Spannung \( U_{\text{out}} \) für den Fall \( "1000" \) ist somit 1,25V.
