Finde eine generalisierte Koordinate q und drücke sowohl die kinetische Energie T , als auch die potentielle Energie …

Question

Aufgabe:

2. Rotierender Ring

Ein kreisförmiger Drahtring (fester Radius \( R \) ) rotiere aufrecht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) im homogenen Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung \( g) \). Auf ihm gleite eine Perle der Masse \( m \) reibungslos.

(a) Finde eine generalisierte Koordinate \( q \) und drücke sowohl die kinetische Energie \( T \), als auch die potentielle Energie \( V \) der Perle durch \( q \) und \( \dot{q} \) aus.

Hinweis: Es wird um die z-Achse rotiert. Das geht aus der dazugehörigen Skizze hervor. Die 45° als Maximum habe ich angenommen, da die Murmel bei Rotation des Ringes nicht höher als zur Hälfte steigen wird.

Problem/Ansatz:

Als q habe ich den Winkel zur jeweiligen z-Achse, um die der Ring rotiert, genommen.

Da am Anfang, bei keiner Rotation, die potenzielle Energie = 0 sein muss und er (bedingt durch die Zentrifugalkraft) bei 45° bei höchster Geschwindigkeit seinen maximalen Abstand zur z-Achse erreicht, habe ich für h = r*sin(q) gewählt und somit die potenzielle Energie m*g*r*sin(q) bekommen.

Die Höhe integriert ergibt r*cos(q)*q' (weil q(t)), d.h ist das meine Geschwindigkeit, d.h wäre die kinetische Energie m/2 * (r*cos(q)*q')^2.

Stimmt das so oder habe ich einen Denkfehler?

Comments

den Winkel als q zu nehmen ist sicher richtig, nicht kapiert habe ich die Achse um die rotiert wird, ist die horizontal oder vertikal?  ich nehme an der Ring rotiert um einen vertikalen Durchmesser?  und q=0 ganz unten? und woher hast du die 45°

r*sin(q) hat sein max bei 90° bzw pi/2.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Generalisierte Koordinate und Energieausdrücke

Generalisierte Koordinate \(q\):

Deine Wahl von \(q\) als den Winkel zur z-Achse ist eine geeignete Wahl für die generalisierte Koordinate in diesem System. Er charakterisiert eindeutig die Position der Perle auf dem Ring.

Potenzielle Energie \(V\):

Die potentielle Energie einer Masse im Gravitationsfeld der Erde ist durch \(V = mgh\) gegeben, wobei \(h\) die Höhe über einer Referenzebene ist. Im vorliegenden Fall, da der Ring aufrecht rotiert, ist es sinnvoll, die Höhe der Perle in Bezug auf die z-Achse zu messen, die durch den Mittelpunkt des Rings verläuft.

Da \(h = R \sin(q)\), ist deine Berechnung der potentiellen Energie als \(V = mgR\sin(q)\) korrekt.

Kinetische Energie \(T\):

Die kinetische Energie setzt sich aus zwei Teilen zusammen: der Rotationsenergie des Rings und der Bewegungsenergie der Perle entlang des Rings. Da der Ring jedoch als Struktur angenommen wird, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) rotiert, und wir uns nur für die Bewegung der Perle auf dem Ring interessieren, betrachten wir nur die Bewegungsenergie der Perle.

Für eine Masse, die sich entlang eines Kreises bewegt, kann die Geschwindigkeit \(v\) in Richtung der Tangente des Kreises bei einem Winkel \(q\) von der z-Achse als Kombination der Tangentialgeschwindigkeit aufgrund der Rotation \(R\omega\) und der Bewegungsgeschwindigkeit der Perle entlang des Rings ausgedrückt werden.

Allerdings scheint es hier einige Verwirrung zu geben: \(v = r\dot{q}\) gilt für lineare Bewegung entlang des Rings (in Polarkoordinaten), was nicht direkt der vertikalen Bewegungskomponente entspricht. Die tatsächliche Geschwindigkeit der Perle setzt sich aus der Geschwindigkeit aufgrund der Ringrotation und der Geschwindigkeit aufgrund der Bewegung der Perle zusammen.

Die korrekte Betrachtung der Geschwindigkeit der Perle in tangentialer Richtung würde berücksichtigen, dass sie eine Komponente der Geschwindigkeit aufgrund der Ringrotation \((R\omega)\) hat und eine Komponente aufgrund der eigenen Bewegung entlang des Rings \((\dot{q})\). Daher die Gesamtgeschwindigkeit zu berechnen, benötigen wir eine genauere Betrachtung der Bewegung der Perle auf dem Ring, die sowohl die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) als auch den Winkel \(q\) miteinbezieht.

Deine Gleichung für die kinetische Energie \(T = \frac{m}{2} (R\cos(q)\dot{q})^2\) berücksichtigt nicht klar die Tatsache, dass \(\dot{q}\) und \(\omega\) unterschiedliche Richtungen und Einflüsse auf die Bewegung der Perle haben. Tatsächlich wird die Geschwindigkeit der Perle, die sich aus der Rotation des ganzen Systems und aus ihrer Bewegung auf dem Ring ergibt, umfassender durch

\( v^2 = (R\omega)^2 + (R\dot{q})^2 \)

wiedergegeben. Da der Ring rotiert und die Perle sich entlang dieses Rings bewegt, resultiert ihre Gesamtgeschwindigkeit aus diesen beiden Anteilen.

Somit solltest du die kinetische Energie als

\( T = \frac{1}{2} m \left( (R\omega)^2 + (R\dot{q})^2 \right) \)

ausdrücken, was die Gesamtbewegung der Perle aufgrund der Rotation des Rings und der eigenen Bewegung der Perle auf dem Ring berücksichtigt.

Zusammenfassend, deine Idee war in die richtige Richtung, aber die Betrachtung der kinetischen Energie muss beide Bewegungskomponenten der Perle klar erfassen, was in der obigen Formel für \(T\) berücksichtigt wird.