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Aufgabe:

Sie stellen die Düse Ihres Gartenschlauches auf einen harten Wasserstrahl ein und richten die Düse in einer Höhe von 1.5 m über dem Boden senkrecht nach oben (Abbildung). Wenn Sie die Düse schnell aus der vertikalen Position heraus- bewegen, hören Sie weitere 2.0 s das Wasser neben sich auf den Boden prasseln. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus der Düse aus?


Problem/Ansatz:

Wie wir eine solche Aufgabe gelöst?

Danke für die Hilfe!

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Allgemein gilt für eine senkrechte Bewegung nach oben

$$ x(t) = x_0 + v_0 t - g \frac{t^2}{2}  $$ Also $$ v(t) = \frac{d}{dt}x(t) = v_0 - g t $$

Die Steigzeit \( t_1 \) berechnet sich aus der Bedingung \( v(t) = 0 \) und das ergibt

$$ t_1 = \frac{v_0}{g} $$ Daraus kann man die Steighöhe berechnen, indem man \( t_1 \) einsetzt. Also

$$ x(t_1) = x_0 + \frac{ v_0^2 }{ 2 g }  $$

Diese Strecke muss der Wasserstarhl auch wieder zurück zum Boden zurücklegen. Das bedeutet es gilt $$ g \frac{t_2^2}{2} = x_0 + \frac{ v_0^2 }{ 2 g } $$ oder

$$ t_2 = \sqrt{ \left( x_0 + \frac{ v_0^2 }{ 2 g } \right)\frac{2}{g} } $$

Und da das Wasser \( T = 2 \) Sekunden braucht, bis es wieder auf die Erde kommt folgt

$$ T = t_1 + t_2 $$ Die Ausdrücke für \( t_1 \) und \( t_2 \) einsetzten und nach \( v_0 \) auflösen ergibt

$$ v_0 = \frac{ T^2 g - 2 x_0  } { 2 T } $$

\( T \) und \( x_0 \) sind bekannt, also kann man \( v_0 \) ausrechnen.

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