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Berechnen Sie die Stabkräfte S1, S2 und S3:

graphic.png  

Kann mir jemand zu der Aufgabe Hilfestellung geben, diese Aufgabe ist echt Mega kompliziert für mich. Erst mal hab ich gedacht, dass ich hier ganz normal voran gehe und die Stabkräfte berechne.

Allerdings hab ich schon Probleme, die Vektoren zu bilden. Es ist kein Koordinatensystem vorgegeben, wo ich jetzt einfach mal ausgehe das ich diesen selber festlege. Ich habe meinen Koordinatensystem in Punkt D gelegt. Ich weiß jetzt nicht ob es der optimalste Punkt ist, wovon ich jetzt mal ausgehe, da hier alle Stabkräfte in den Punkt D hineingehen. So nun bin ich auch nicht mehr weiter gekommen, wenn ich jetzt den Vektor s1 zb aufstellen möchte, wäre es dann ( 2, 2, 2)?

S2( 2, 0, 3)

S3 (3, 0, 2)

Und F ist nicht gegeben ich gehe jetzt mal von F (-1, 0, 0) aus.

Habe ich die Vektoren richtig aufgestellt?

Wie geht man hier in der Aufgabe voran am besten?

Sonst verstehe ich leider echt nicht wie ich die Aufgabe berechnen kann.

Ich bin jedem dankbar für Hilfe!

von
S1( 2, 2, 2)?

S2( 2, 0, 3)

S3 (3, 0, 2)

Eher nicht.

a muss vorkommen.

z ist immer 2a (Höhe) ist überall gleich.

Ausserdem haben Vektoren eine Richtung und eine Länge. D.h. entweder kommen in den Vektoren ein paar Minus vor (leider fehlen die Pfeile im Bild.

D.h. man muss wohl die Längen der Vektoren ausrechnen (3-dim Pythagoras).

Bsp. Vektor AD = S_(2) = (2a, - a, 2a).

|S_(2)| = √((2a)^2 + (a)^2 + (2a)^2) = √(9a^2) = 3a

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Tekto,

habe Deine Frage leider etwas spät gesehen. Zunächst mal zur Klärung eines Sachverhalts. Die Kraft \(F\) ist gegeben und die Stabkräfte sind als Vielfache von \(F\) gefragt. Man muss zwischen dem Betrag und dem Vektor \(F\) unterscheiden. Durch das Bild ist auch die Richtung von \(F\) gegeben. Wie Du das Koordinatensystem wählst ist letztlich egal. Nicht vogelwild und schräg - das produziert nur Arbeit. Aber einmal gewählt muss man sich daran halten!

Du kannst den Vektor als \(F\) schreiben und seinen Betrag als \(|F|\) oder den Vektor als \(\vec{F}\) und den Betrag als \(F\). Im Allgemeinen werden Stäbe immer als Zugstäbe angenommen und wenn ein negativer Wert für den 'Betrag' heraus kommt, dann ist es ein Druckstab. Im Folgenden verwende ich die zweite Schreibweise mit \(F\) und \(\vec{F}\).

In Deinem Koordinatensystem ist dann $$\vec{F} = \begin{pmatrix} -F \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$ negativ deshalb, da er in dem von Dir gewählten System in negative X-Richtung wirkt. So - und ab jetzt läuft die Aufgabe genauso wie schon Deine letzte Aufgabe. Das könntest Du jetzt 1:1 abschreiben, nur dass Du andere Zahlenwerte einsetzt!

Eine Stabkraft, die im Punkt \(D\) wirkt, sähe so aus:

$$\require{cancel} \vec{S_3} = S_3 \frac{1}{\sqrt{\cancel{13}\, \bbox[#ffff66]{8}}}\begin{pmatrix} \cancel{3} \, \bbox[#ffff66]{2} \\ 0\\ -2 \end{pmatrix}$$

Der Vektor hinter \(S_3\) inklusive der \(1/\sqrt{\cancel{13}\, \bbox[#ffff66]{8}}\) ist ein Einheitsvektor. Und die physikalische Einheit (Newton oder Kilopound oder Vielfaches von \(F\)) steckt in \(S_3\).

Die Kraft, die der Stab \(S_3\) auf den Punkt \(B\) ausübt, ist aber genau negativ - also:

$$\require{cancel} {^B\vec{S_3}} = S_3 \frac{1}{\sqrt{\cancel{13}\, \bbox[#ffff66]{8}}}\begin{pmatrix} \cancel{-3} \, \bbox[#ffff66]{-2} \\ 0\\ +2 \end{pmatrix}$$ man muss also bei den Stäben zwischen der Stabkraft als skalare Größe (positiv: Zug. und negativ: Druckstab) und deren Wirkung auf die Knoten unterscheiden.

Und der Rest ist wie gehabt. Im Knoten \(D\) gilt:

$$\vec{S_1}+\vec{S_2}+\vec{S_3}+\vec{F}=\vec{0}$$ mit $$\begin{align} \vec{S_2} &= S_2 \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix} \\ \vec{S_1} &= S_1 \frac{1}{\sqrt{12}}\begin{pmatrix} -2 \\ -2\\ -2 \end{pmatrix} \end{align}$$ rechnen darfst Du jetzt mal selber. Ich zeige Dir nochmal wie mal relativ schnell zu einer Lösung kommt. Dazu betrachte die XZ-Ebene, in der die Knoten \(D\) und \(B\) liegen. Betrachte die Summe aus \(\vec{S_1}+\vec{S_2}=\vec{S_{1,2}}\) und zeichne Dir das mal auf. Dann sieht man 'sofort', dass \(\vec{S_3}\) und \(\vec{S_{1,2}}\) senkrecht zueinander stehen und im Winkel von \(45°\) zu \(\vec{F}\) verlaufen - also muss sein:

$$\begin{align} S_3 &= \frac12 \sqrt{2} F \\ S_{1,2} &= -\frac12 \sqrt{2} F\end{align}$$

Damit kennt man auch die Kraft \(^BS_{3z}=F/2\) (warum?). D.h. \(S_3\) zieht mit \(F/2\) an \(B\) nach oben. Da \(\vec{F}\) selbst keine Kraft in Z-Richtung hat, muss eine genauso große Gegenkraft in \(A\) und \(C\) wirken. Und zwar im Verhältnis 2:1. Man kann also direkt hinschreiben:

$$^A{S_{2z}} = -\frac13 F; \quad {^CS_{1z}} = -\frac16F$$ Daraus folgen dann unmittelbar die Stabkräfte, wenn wir dies oben in die Gleichung einsetzten:

$$ \vec{S_2} = S_2 \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{2x} \\ S_{2y}\\ \frac13 F \end{pmatrix} \quad \Rightarrow S_2 \frac13 (-2)= \frac13F \quad \Rightarrow S_2 = -\frac12F$$ Genauso ist \(S_1 = -(\sqrt{3}/6)F\).

Jetzt hoffe ich mal, dass ich mich in der Eile nicht verrechnet habe, falls Du Fragen hast, so schreibe sie auf. Ich schaue mir das morgen an.

Gruß Werner

von 4,3 k

Hallo Werner,


immer wieder eine Freude, wenn du antwortest, dich müsste man als Übungsleiter haben! Danke.


Ich werde es nachrechnen und bei evtl. Rückfragen zu Dir zurück kommen. Das mit dem Trick die XZ Ebene zu achten zwischen dem Knoten D und B, ist eine echt gute Idee man würde sich dadurch eine Menge an Rechnung ersparen. Falls man aber nicht auf den Trick kommen sollte, sollte man ja mittels den Komponenten in x, y, z auch auf das selbe hinaus kommen?


Zu den Vektoren, die du aufgestellt hast:


S3=(3, 0, -2) wäre ja in meinem Fall (-3, 0, 2) , da mein Koordinatensystem so gelegt ist, oder war das bewusst von dir?



Wenn man dann folgendes betrachtet: vom Stab bzw von D zu Punkt B, wäre es ja S3B= (3, 0, -2) oder ?

Also laut dem Koordinatensystem, den fest ich gelegt habe.


Aber kann man nicht genau den letzten Schritt weg lassen, ich brauche doch eigentlich die Punkte von A, B, C zu D, weil das ja quasi „der Ausgangspunkt“ ist?

Die negativen Zahlen müsste sich ja sowieso auflösen, wenn man den Betrag bildet.

Oder muss ich dann wirklich nochmals wirklich von jedem Vektor die andere Richtung als Vektor aufstellen, also sozusagen das gleiche nur negativ? Beispielsweise von D—> B noch mal für B—> D?


Wichtig ist doch wenn man die Rechnung macht, also die Komponenten jeweils multipliziert und umstellt, nur die Vektoren nimmt, die von A, B, C zu D hineingeht oder?

ich habe Dir die Szene mit dem von Dir gewählten Koordinatensystem im Geoknecht3D eingeben. Dabei ist mir dann auch aufgefallen, das Du ein linkshändiges Koordinatensystem gewählt hast!. Also \(y\) in der Szene ist \(-y\) in der Rechnung.

Das Arbeiten mit Geoknecht3D würde ich Dir zur Übung wärmstens empfehlen.

Untitled1.png

(klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus)

Hallo Werner,


ich habe heute versucht die Aufgabe mittels meiner alten Technik zu berechnen, leider vergebens. Ich schreibe dir mal auf, was ich gemacht habe, vielleicht kannst du ja meinen Fehler irgendwo entdecken, was mich schon am Anfang sehr erschreckt hat, das kaum Stäbe rausfallen und so mir die Rechnung noch komplizierter macht.



Ich habe folgende Vektoren aufgestellt:


$$ \frac{S1}{\sqrt{12}}\ \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \frac{S2}{\sqrt{9}}\ \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \frac{S3}{\sqrt{8}}\ \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} F \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}$$


wenn ich dann jeweils die X Komponenten miteinander verrechnet habe, habe ich folgendes erhalten:


x= $$ \frac{S1}{\sqrt{12}}\ *2 +  \frac{S2}{\sqrt{9}}\ *2 +  \frac{S3}{\sqrt{8}}\ *(-2) + F*(-1)$$

x ausmultipliziert= $$ \frac{2*S1}{\sqrt{12}}\ + \frac{2*S2}{\sqrt{9}}\ - \frac{2*S3}{\sqrt{8}}\ -F$$


so hier kann ich nach nichts umstellen, weil ich zu viele unbekannte habe, so bin ich zu y gegangen


y(habe schon hier aus multipliziert)= $$\frac { -2S1 }{ \sqrt { 12 }  } -\frac { S2 }{ \sqrt { 9 }  } =0\quad |\quad +\frac { -2S1 }{ \sqrt { 12 }  }$$


$$-\frac { S2 }{ \sqrt { 9 }  } =\frac { 2S1 }{ \sqrt { 12 }  } |*\sqrt { 9 }\quad |*(-1)$$


$$ S2=\frac { 2S1*\sqrt { 9 }  }{ \sqrt { 12 }  }$$

Ist das richtig?


Z= $$\frac { 2S1 }{ \sqrt { 12 }  } +\frac { 2S2 }{ \sqrt { 9 }  } +\frac { 2S3 }{ \sqrt { 8 }  }$$


da ich hier auch zu viele unbekannte habe, habe ich , was ich bei S2 rausbekommen habe, in X eingesetzt.


$$ \frac { 2S1 }{ \sqrt { 12 }  } +\frac { 2*2S1\sqrt { 9 }  }{ \frac { \sqrt { 12 }  }{ \sqrt { 9 }  }  } -\frac { 2S3 }{ \sqrt { 8 }  } -F$$


hier habe ich den Kehwert angewendet. Wurzel 9 fällt somit weg.


jetzt habe ich noch die S1 Werte zusammengefasst, kann ich ja machen, weil der Nenner gleich ist:

X= $$ \frac { 6*S1 }{ \sqrt { 12 }  } -\frac { 2S3 }{ \sqrt { 8 }  } -F=\quad 0\quad |+\frac { 2S3 }{ \sqrt { 8 }  }$$


folgt:


$$\frac { 6*S1 }{ \sqrt { 12 }  } \quad -F=\quad \frac { 2S3 }{ \sqrt { 8 }  } |*\sqrt { 8 } |\div 2$$


das ist gleich


$$\frac { 6*S1\sqrt { 8 }  }{ \frac { \sqrt { 12 }  }{ 2 }  } \quad -F=\quad S3$$


so nun komme ich nicht wirklich weiter, wo ich mich natürlich frage, ob ich die rechnung richtig gemacht habe oder schon evtl die Stabkräfte bzw. Die Vektoren falsch aufgestellt habe?


LG Tekto

Hallo Tekto,

Ich habe folgende Vektoren aufgestellt: ....ff

Hier ist es notwendig, Gleichheitszeichen zu setzen und trenne die einzelnen Terme mindesten mit einem Semikolon. Wenn man die Aufgabe nicht kennt, könnte man mit dieser Zeile schon gar nichts mehr anfangen :-(

Du hast \(S_1\) und \(S_2\) von vornherein als Druckstäbe angenommen. Das ist hier nicht falsch, da es offensichtlich ist. Bei größeren Stabwerken kann man aber leicht den Überblick verlieren.

...

$$\frac { \bbox[#FF0000, 0px]{-}2S1 }{ \sqrt { 12 }  } -\frac { S2 }{ \sqrt { 9 }  } =0\quad |\quad +\frac { -2S1 }{ \sqrt { 12 }  }$$

... und hier taucht dann, wie aus dem Nichts, leider ein Minuszeichen auf.

$$S2=\frac { 2S1*\sqrt { 9 }  }{ \sqrt { 12 }  }$$

und hier ist das Minuszeichen wieder verschwunden! Du fragst, ob das richtig ist - vergleiche einfach mit meiner Lösung. Ich schrieb:

$$S_1 = -(\sqrt{3}/6)F; \quad S_2 = -\frac12F $$$$ \quad \Rightarrow S_2 = \sqrt{3} \, S_1$$ .. und das ist tatsächlich das selbe Ergebnis. Du solltest Deines vielleicht noch kürzen.

...

habe ich , was ich bei S2 raus bekommen habe, in X eingesetzt. $$\dots \frac { 2*2S1\sqrt { 9 }  }{ \frac { \sqrt { 12 }  }{ \sqrt { 9 }  }  } \dots$$

Es ist: $$\frac { 2S_2 }{ \sqrt { 9 }  } = \frac { 2\left( \frac { 2S_1\cdot \sqrt { 9 }  }{ \sqrt { 12 }  }\right) }{ \sqrt { 9 }  } = \frac{4S_1 \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{9}} = \frac23 \sqrt{3} S_1$$
...

so nun komme ich nicht wirklich weiter,

Ja - weil Du vergessen hast, \(S_2\) auch in die Gleichung für Z einzusetzen. Wenn Du in einem Gleichungssystem mit drei Unbekannten eine Unbekannte isolierst, so musst Du sie in die verbleibenden zwei Gleichungen einsetzen. So bekommst Du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und nur noch zwei Unbekannten.

Versuche es einfach noch mal weiter. Du solltest so was dringend üben. Ach - und vergiss die Gleichheitszeichen nicht!
Gruß Werner

Hallo Werner,


zu der Erklärung wegen dem Minus-Zeichen


und hier taucht dann, wie aus dem Nichts, leider ein Minuszeichen auf.


Ich hab ein -2s1 rausbekommen, weil in meiner Y Komponente, bei S2, ein -1 vorkam, deswegen hab ich da ein - erhalten. Später habe ich den Term *(-1) multipliziert, weswegen, der Term wieder positiv wurde.

Ich werde es dann noch mal weiter versuchen und bei Fragen zurück kehren.

Gruß Tekto

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