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Hallo. Ich weiß zu folgender Aufgabe leider nicht mal einen Ansatz, da ich mir überhaupt nicht bildlich vorstellen kann, wie folgendes gemeint ist:

An der Stelle x0= 5, y0 = 3, z0 = -7 befindet sich ein Massenpunkt. Auf ihn wirkt eine Kraft von 7 N in Richtung des Punktes P(4/-5/3). Wie groß ist die z-Komponente der Kraft?

Kann mir jemand vielleicht einen Ansatz nennen und ein Endergebnis? Oder auch erstmal nur den Ansatz? Ich habe gar keine Vorstellung.


Vielen Dank im Voraus

von

1 Antwort

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Hallo,

Du hast  zwei Punkte in einem Koordinatensystem. Die Richtung der Kraft ist gleich der Richtung des Vektors vom Ortsvektor Massepunktes M zum Ziel der Kraft dem Punkt P.

Daraus folgt mit  f als der Vektor der Kraft, MP als der Vektor von M nach P, ef als Einheitsvektor in Richtung der Kraft und a aus ℝ

$$ \vec{MP} = \vec{P}- \vec{M} $$

$$ \vec{f} = a \cdot \vec{MP} $$

Der Betrag von f muss 7 sein, da die Kraft gleich 7 N ist.

$$ \vert \vec{f} \vert = 7 $$

$$ \vec{e_f} = \frac{\vec{MP}}{\vert \vec{MP} \vert} $$

Daraus folgt

$$ \vec{f}= \frac{\vec{MP}}{\vert \vec{MP} \vert} \cdot 7 $$

Die Komponente in z-Richtung kannst Du an der z-Koordinate von f ablesen.

Gruß

von

Danke. Das heißt doch, dass auf die Länge des Vektorpfeiles vom Massenpunkt auf den Punkt P 7 N kommen. Der Vektorpfeil ist √(165). Ich dachte nun, dass das den 7 N entspricht, aber ich habe in Notizen gefunden, dass dieser Betrag erstmal nur für den EInheitsvektor ist. Ist das denn ricgtig? ALso kommen im Endergebnis 70/√(165) heraus? Ich verstehe hier noch nicht ganz den Zusammenhang von Einheitsvektor und den 7 N.

Die Richtung gibt der Vektor MP vor. Von dieser Richtung musst Du denn Einheitsvektor bestimmen, also den Vektor MP durch seinen Betrag. Dann hast Du einen Vektor in dieser Richtung der die Länge 1 hat, also den Einheitsvektor.

Multiplizierst Du diesen Vektor ( den Einheitsvektor der Richtung ) dann mit 7 hast Du einen Vektor der Länge 7. Dieser entspricht dem Vektor der Kraft in die Richtung. An seiner z-Komponente erkennst Du direkt den z-Anteil der Kraft.

Alternativ kann man auch sagen, Die Z Komponente von Vektor MP hat das gleiche Verhältnis zur Länge von Vektor MP wie die Z Komponente vom Kraftvektor zu seiner Länge. Das hiesse z von F / Länge F = z von MP / Länge MP.

Das ergibt sich aus dem Strahlensatz bzw. den Berechnungen für die Z-Komponente

Sei Vektor MP = Vektor r, sei f der Vektor der Kraft

Mit den Gleichungen aus meiner Antwort ergibt sich:

$$ \vert \vec{r} \vert = r $$

$$ \vec{f}= \frac{ \vec{r} }{r} \cdot 7 = \frac{7}{r} \vec{r} = \begin{pmatrix} \frac{7}{r} x_r \\ \frac{7}{r} y_r \\ \frac{7}{r} z_r \end{pmatrix} $$

daraus folgt

$$ z_f = \frac{7}{r} z_r $$

Du hast geschrieben

$$ r = \sqrt{165} $$

also gilt

$$ z_f = \frac{7}{165} z_r $$

Das entspricht wiederum meiner Gleichung mit der Erklärung über den Strahlensatz.

analog für den Einheisvektor

$$ z_e =  \frac{1}{165} z_r $$


Ich versuche meine Erklärung noch ein wenig zu vereinfachen.

Man bestimmt zuerst die Richtung: Vektor MP

Dann bestimmt man den Einheitsvektor, der die Länge 1 hat, da damit am einfachsten zu arbeiten ist.

Diesen multipliziert man mit der Größe der Kraft, damit man einen Vektor hat, dessen Länge genau der Größe der Kraft entspricht.

An seinen Komponenten kann man dann die einzelnen Komponenten der Kraft ablesen.

Jetzt hab ichs. Tausend Dank für die ausführlichen Antworten!!

Gern geschehen!

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