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 Hallo,


wie kann man die Formel für die Spannenergie herleiten?

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Hallo,

hookesches Gesetz:

F=-Ds, D=Federkonstante

E= -∫(0 bis s) F ds'=  ∫(0 bis s) Ds ds'

= 1/2 s^2

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Hallo,

Für jede Feder gilt das Hookesche Gesetz. Die Dehnung, angegeben in Δx. Eine Feder ist direkt propotional zur wirkenden Kraft F. Das heißt:$$\frac{F}{\Delta x}=D \quad \text{bzw.} \quad F=D\cdot \Delta x$$ Das "D" wird Federhärte genannt und wird in der Einheit N/m oder N/cm angegeben.

Stell dir jetzt einmal vor du hängst an eine Feder mit der Federhärte D eine Kugel der Masse "m". Hier wirkt auch die Gewichtskraft FG=m*g, demnach wird die Feder um Δs gedehnt und ruht dann in einer "Ruhelage". Es gilt also:$$m\cdot g=D\cdot \Delta s$$ Hebt man die Kugel mit der Hand so weit hoch, dass die Feder wieder entspannt ist, anschließend die Kugel losläst, so schwingt diese hin und her.

Währendessen des Schwingens der Kugel werden, die ganze Zeit, drei Energieformen ineinander umgewandelt. Nämlich die potentielle Energie, die kinetische Energie und Spannenergie. Ganz oben (beim Schwingen) besitzt die Kugel nur potentielle Energie zur Höhe, das heißt:$$h=2\cdot \Delta s$$ Ganz unten dagegen hat die Kugel nur Spannenergie, die zur Dehnung gehört:$$\Delta x=2\cdot \Delta s$$. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:$$E_{gesamt, oben}=E_{gesamt, unten}$$$$E_{gesamt, oben}=E_{pot. Energie}=m \cdot g \cdot 2 \cdot \Delta s$$$$E_{gesamt, unten}=E_{span} \quad \text{also} \quad m\cdot g\cdot 2 \cdot \Delta s = E_{span, beiDehnung}$$ Mit diesen drei Gleichungen kannst du nun die Formel für Spannenergie bestimmen:$$E_{span}=m\cdot g\cdot 2 \cdot \Delta s=m\dot g \cdot \Delta x = D\cdot \Delta s \cdot \Delta x=D\cdot \frac{1}{2}\cdot \Delta x \cdot \Delta x= \frac{1}{2}\cdot D\cdot (\Delta x)^2$$ Die Formel für eine Feder die um Δx gedehnt wird, heißt also:$$E_{span}=\frac{1}{2}\cdot D \cdot (\Delta x)^2$$

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