Wie groß ist die Spannung, die von einer Last mit einer Masse von 75 kg erzeugt wird?

Question

Aufgabe:

In einer Waage sei ein piezoelektrischer Sensor aus Quarz mit einer Fläche von 2 cm² und einer Dicke von 0.5 mm.

a) Wie groß ist die Spannung, die von einer Last mit einer Masse von 75 kg erzeugt wird?

b) Wie groß ist die Spannung, wenn als piezoelektrisches Sensorelement Bleizirkonattitanat (PZT) statt Quarz verwendet wird?

Hinweise: ε₀ =8,854 10^-12 A s /V m, Plattenkondensator C = (ε₀*ε_r*A) / S
Quarz: piezoelektrischer Koeffizient kp=2,3 10^-12 A s /N, relative Permittivität
(Dielektrizitätskonstante) ε_r=4,5
PZT: piezoelektrischer Koeffizient kp=700 10^-12 A s /N, relative Permittivität
(Dielektrizitätskonstante) ε_r=1200

Hinweis: In der messtechnischen Praxis darf die Kapazität der Anschlussleitung zum Piezoelement
nicht vernachlässigt werden (C=C_Piezo+C_Leitung+C_{Verstärkereingang})

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der Spannung für Quarz

Um die Spannung zu berechnen, die von einer Last mit einer Masse von 75 kg erzeugt wird, müssen wir zuerst den Druck \(P\) verstehen, der durch die Last erzeugt wird, und dann diesen Druck mit dem piezoelektrischen Koeffizienten \(k_p\) multiplizieren.

Zuerst berechnen wir die Kraft \(F\), die durch die Masse ausgeübt wird. Da \(F = m \cdot g\), wobei \(m = 75\,kg\) und \(g = 9,81\,m/s^2\) (Erdbeschleunigung),
\( F = 75\,kg \cdot 9,81\,m/s^2 = 735,75\,N \)

Die Fläche \(A\) des Sensors in Quadratmetern ist:
\( A = 2\,cm^2 = 2 \cdot 10^{-4}\,m^2 \)

Der Druck \(P\) durch die Last auf den Sensor ist dann \(P = \frac{F}{A}\),
\( P = \frac{735,75\,N}{2 \cdot 10^{-4}\,m^2} = 3,678,750\,Pa \)

Für Quarz ist der piezoelektrische Koeffizient \(k_{p_{Quarz}} = 2,3 \cdot 10^{-12}\,A s/N\). Die Ladung \(Q\) erzeugt durch den Druck \(P\) kann gefunden werden durch \(Q = k_p \cdot P\),
\( Q_{Quarz} = 2,3 \cdot 10^{-12}\,A s/N \cdot 3,678,750\,Pa = 8,460,925 \cdot 10^{-6}\,C \)

Die Kapazität \(C_{Quarz}\) des Plattenkondensators (des Sensors) ist \(C = \frac{\varepsilon_{0}\cdot\varepsilon_{r}\cdot A}{S}\),
mit \(\varepsilon_{0} = 8,854\cdot 10^{-12}\,A s/V m\), \(\varepsilon_{r_{Quarz}} = 4,5\) und \(S = 0,5\,mm = 0,5 \cdot 10^{-3}\,m\),
\( C_{Quarz} = \frac{8,854 \cdot 10^{-12}\,A s/V m \cdot 4,5 \cdot 2 \cdot 10^{-4}\,m^2}{0,5 \cdot 10^{-3}\,m} = 15,9363 \cdot 10^{-12}\,F \)

Die Spannung \(V\) aus der Ladung \(Q\) und der Kapazität \(C\) ist \(V = \frac{Q}{C}\),
\( V_{Quarz} = \frac{8,460,925 \cdot 10^{-6}\,C}{15,9363 \cdot 10^{-12}\,F} = 530,921\,V \)

Berechnung der Spannung für PZT

Für PZT, mit einem piezoelektrischen Koeffizienten \(k_{p_{PZT}} = 700 \cdot 10^{-12}\,A s/N\) und einer relativen Permittivität \(\varepsilon_{r_{PZT}} = 1200\),
\( Q_{PZT} = k_{p_{PZT}} \cdot P = 700 \cdot 10^{-12}\,A s/N \cdot 3,678,750\,Pa = 2,575,125 \cdot 10^{-6}\,C \)

Kapazität \(C_{PZT}\) ist,
\( C_{PZT} = \frac{8,854 \cdot 10^{-12}\,A s/V m \cdot 1200 \cdot 2 \cdot 10^{-4}\,m^2}{0,5 \cdot 10^{-3}\,m} = 21,24624 \cdot 10^{-9}\,F \)

Daher ist die Spannung \(V_{PZT} = \frac{Q_{PZT}}{C_{PZT}}\),
\( V_{PZT} = \frac{2,575,125 \cdot 10^{-6}\,C}{21,24624 \cdot 10^{-9}\,F} = 121,155\,V \)

Zusammenfassung:
- Die Spannung über den Quarzsensor unter der Last von 75 kg beträgt ungefähr \(530,921\,V\).
- Die Spannung über den PZT-Sensor unter der gleichen Last beträgt ungefähr \(121,155\,V\).