0 Daumen
353 Aufrufe

Um Transportpaletten mit einem Kran heben zu können, kann eine Art „Gabelhaken“ verwendet werden.  In  der Seitenansicht hat er eine Form eines starren Doppelwinkels bestehend aus drei Stäben der Länge 50 cm, 150 cm,100 cm. Wird dieser Gabelhaken ohne Last angehoben, so wird er um den Winkel δ gedreht. Bestimmen Sie diesen Winkel unter der Annahme, dass der Haken sich auf drei homogene Stäbe mit quadratischem Querschnitt von 10 cm Kantenlänge reduzieren lässt. 

  6792844D-BB58-4833-9B7F-9A5A869AE4C5.jpeg

von

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo,

Der Gabelhaken wird sich so einpendeln, dass sich sein Schwerpunkt genau unter dem Aufhängepunkt \(A\) befindet. Um die Position des Schwerpunkts zu berechnen müssen die Positionen der einzelnen Schwerpunkte entsprechend gewichtet addiert werden.

Skizze1.png

Da alle Balkenstücke gleichen Querschnitt haben, verhalten sich ihre Gewichte wie ihre Längen. Nummeriere ich die Balken von unten nach oben von 1 bis 3, so verhalten sich ihre Gewichte \(g_i\) wie

$$g_1 \div g_2 \div g_3 = 10 \div 15 \div 5$$ mit der Summe aller Gewichtungen von \(w=10 + 15 +5 = 30\). Demnach ist der Schwerpunkt \(s\) (alle Längen in \(\mbox{cm}\))

$$s = \sum \frac{w_i}{w} s_i = \frac{10}{30} \begin{pmatrix} 10\\ -155\end{pmatrix} + \frac{15}{30} \begin{pmatrix} 55\\ -75 \end{pmatrix} + \frac{5}{30} \begin{pmatrix} 25\\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 35\\ -90\end{pmatrix} $$

Das Koordinatensystem habe ich zur Definition der Schwerpunktpositionen in den Aufhängepunkt gelegt. Und der Winkel \(\delta\), um den sich der Gabelhaken eindrehen wird, liegt dann bei

$$\delta = \arctan{\frac{35}{90}} \approx 21,25°$$

Skizze2.png

Als Goody noch eine graphische Konstruktion des Schwerpunkts. Die Gewichte \(g_1\) und \(g_3\) verhalten sich wie 2 zu 1. Folglich liegt der gemeinsame Schwerpunkt der Balken 1 und 3 in einem Punkt \(S_{13}\) der die Strecke \(\overline{S_1S_3}\) im Verhältnis \(1 \div 2\) teilt. Die Summe der Gewichte der Balken 1 und 3 ist identisch zum Gewicht von Balken 3. Folglich liegt der Gesamtschwerpunkt genau in der Mitte zwischen \(S_{13}\) und \(S_2\).

Gruß Werner

von 4,2 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Nanolounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community