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Hallo zusammen.
Iges sei der Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer Rotationsachse, die nicht durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft.

Ich soll ausgehend von der Formel Iges=ISP+a2M den Steinerschen Satz für eine beliebige Dichteverteilung herleiten, dessen Schwerpunkt nicht auf der Rotationsachse liegt.

ISP soll das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer zur Rotationsachse parallelen Achse sein.
a ist der Abstand der Rotationsachse zum Schwerpunkt.

Leider finde ich keinen passenden Ansatz gefunden, den ich hier anwenden könnte.
Das einzige wo die Dichte vorkommt, ist die Definition des Trägheitsmomentes, aber die kann ich hier nirgendwo einbringen.

Wäre klasse, wenn da jemand helfen könnte :)

von

niemand eine Idee?

Der Steinersche Satz gilt bereits für beliebige Dichte-Verteilungen.

Ich vermute mal, du sollst den Satz herleiten. Dann kommst du nicht drumherum, die Definition des Trägheitsmoments zu verwenden.

Betrachte dann eine Translation des Koordinatensystems x'=x+a (alles Vektoren)

PS: die Herleitung findest du auch auf Wikipedia

ok, werde ich mal versuchen, aber mich irritiert es eben, dass ich ausgehend von der gegebenen Gleichung was herleiten soll.

Manchmal sind die Aufgabensteller so freundlich und geben das Endergebnis der Rechnung bereits vor, damit man bei den Umformungen ein Ziel vor Augen hat :)

und manchmal verwirren sie dabei dann wohl. Danke für den Tipp. Dann versuche ich mal herzuleiten

ich habe jetzt diverse Herleitungen gefunden, aber in keiner kommt die Dichte vor. Ich denke nicht, dass ich die ganz weglassen kann, wenn die schon explizit in der Aufgabe steht.

und was soll es eigentlich heißen, dass der schwerpunkt der Dichteverteilung nicht auf der Rotationsachse liegt?

Welche Definition des Trägheitsmoments verwendest du denn?

I= Volumenintegral von r^2*Dichte

Nur kommt diese Definition eben nicht in der Herleitung für den Steinerschen satz vor

Ja, man kann den Satz einmal herleiten mithilfe der Definition über Summen oder auch mithilfe der kontinuierlichen Definition über das Integral. Beachte, dass r der senkrechte Anteil des Abstandes ist. Der Beweis geht dann analog. Wird auf dieser Seite vorgerechnet:

https://web.physik.rwth-aachen.de/~fluegge/Vorlesung/PhysIpub/Exscript/6Kapitel/VI7Kapitel.html

Dabei ist

$$ dm=\rho(\vec{r}) dV $$

ok, dann macht es Sinn. Vielen Dank :)

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