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Hallo kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein....die Formel der gleichförmig gradlinigen Bewegukg lautet ja V=s/t aber ich habe ja nichts mit der stecke gegeben also ist das unnötig...

Geg. h_M= 2m   h_L=10m   V=4km/h

Ges. V_Schattenspitze

Vielen lieben Dank im Voraus:)

Bild Mathematik

von

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Beste Antwort

Da ich mich auch etwas mit der Frage
beschäftigt habe hier meine Lösung / Erklärung

Skizze 1 zeigt die Verhältnisse für den
Fußpunkt des Mannes
s = v * t

Skizze 2 die Verhältnisse auch für den
Schatten an der Kopfposition.

Bild Mathematik

Die Berechnungen sind

Bild Mathematik

Heraus kommt das k ´ oder Geschwindigkeit des Schattens
in Kopfposition gleich 5/4 * v = 5 km/h ( const ) ist.

mfg Georg

von 6,8 k

Super vielen Dank für die tollen antworten:)

Das hat mir super weitergeholfen....

Noch eine Sache zur 2. Frage bezüglich das sich ändert wenn die Lampe jetzt irgendwo auf der Strecke steht...also die V wird doch nicht mehr so schnell sein wie zuvor bzw. wenn er sich ja direkt unter ihr befindet bewegt sich der Schatten überhaupt nicht und wenn er auf die Lampe zuläuft ist der Schatten ja hinter ihm und V ist klein oder???

Ich interpretiere den Fragetext so.
1. Der Mann hat die Lampe im Rücken und
entfernt sich.
2. Der Mann geht  auf die Lampe zu, befindet
sich unter ihr und entfernt sich.
Da die Geschwindigkeit des Mannes immer konstant
ist ist auch die Geschwindigkeit des Schattens
immer konstant.
Direkt unterhalb der Lampe ist Schattenlänge
des Mannes allerdings null.


+3 Daumen

Betrachte das Problem zunächst rein statisch.

Bild Mathematik

Der Lichtstrahl zur Spitze des Schattens geht von der Lampe \(L\) 'durch' die Spitze des Mannes \(M\) und trifft den Boden bei \(S\) - die Position der Schattenspitze. In vektorieller Darstellung dieses Strahls \(g\) kann man also schreiben:

$$g = L + (M-L) t$$

Die Ebenengleichung für den Boden (dort ist der Schatten) in der Hesseschen Normalform lautet

$$e_z \cdot x =0$$

und daraus lässt sich dann die Position der Spitze des Schattens \(S\) berechnen. Ich setze \(g\) für \(x\) ein:

$$e_z \cdot \left( L + (M-L) t\right) =0 \quad \Rightarrow t=\frac{e_z \cdot L}{e_z \cdot (L-M)}$$

so bekommt man das \(t\) und daraus folgt die Position für \(S\) nach Einsetzen in die Gleichung des Lichtstrahls:

$$S = L + (M-L) \frac{e_z \cdot L}{e_z \cdot (L-M)}$$

Es ist Dir vielleicht aufgefallen, dass ich bisher nicht festgelegt habe, ob es sich um ein 2- oder 3-dimensionales Problem handelt. Vielleicht scheint Dir der Weg bisher zu 'kompliziert'. Aber ich habe ihn mit Absicht gewählt, um den 2.Fall (Laterne nicht im Rücken des Mannes) gleich mit zu behandeln.

Nehmen wir mal den einfachen Fall (Laterne im Rücken des Mannes), dann liegen alle Positionen in einer Ebene so wie in der Skizze oben. Die Laterne stehe an der Position 0 und der Mann befinde sich bei \(x\) - also ist

$$L=\begin{pmatrix} 0 \\ h_L \end{pmatrix}; \space M= \begin{pmatrix} x \\ h_M \end{pmatrix}$$

Einsetzen in die Gleichung für S ergibt

$$S = \begin{pmatrix} 0 \\ h_L \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ h_M - h_L \end{pmatrix} \frac{h_L}{h_L - h_M}=\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ -8 \end{pmatrix} \frac{10}{8}=\begin{pmatrix} \frac{5}{4}x \\ 0 \end{pmatrix} $$

Es ist keine Überraschung, dass die Z-Koordinate immer =0 ist und die Schattenspitze liegt immer um den Faktor 5/4 vor dem Mann. Die Geschwindikeit ist die Ableitung nach der Zeit  -also kommt man zur Geschwindigkeit \(v_s\) der Schattenspitze:

$$\dot S = \vec{v_S}= \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \dot x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} v \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{5}{4} \begin{pmatrix}  v \\ 0 \end{pmatrix}= \frac{5}{4}\vec{v}$$

oder auch, wenn man die Bewegung in nur einer Dimension betrachtet

$$v_S=\frac{5}{4} v$$

Der Übergang in das 3-dimensionale ist jetzt trivial. Betrachte die Variable \(x\) einfach als 2-dimensionale Position auf dem Boden und deren Ableitung nach der Zeit als die Geschwindigkeit \(\vec{v}\) des Mannes. Ich übernehme einfach, was schon oben steht:

$$\vec{v_S}=\frac{5}{4} \vec{v}$$

von 3,6 k
+2 Daumen

Der Mann beginnt senkrecht unter der Laterne. Sein Schatten hat die Länge 0. Dann läuft er 4 km die Straße geradeaus. Dann ist die Spitze seines  Schattens s bei 4+s km. Daraus ergibt sich eine Strahlensatzfigur und daher s/2=(4+s)/10. Daraus errechnet sich s=1. In einer Stunde bewegt sich die Schattenspitze 5 km.

von

Sehr vielen Dank:)

Ich habe aber noch eine Frage. Wie kommen sie dann ganz am Ende auf die 5km?

Hall Ju1234,

die Gleichung s/2 = (4+s)/10 ist für s = 1 erfüllt.
Das kann man durch Probieren oder nach s auflösen
herausfinden. Die Schattenlänge ist also s = 1km, wenn der Mann 4km weit gelaufen ist.

Der Mann läuft die 4km in einer Stunde und das bedeutet, dass die Spitze des Schattens 5km in einer Stunde zurückgelegt hat (siehe Skizze unten).

Bild Mathematik Beste Grüße
gorgar

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