+2 Daumen
546 Aufrufe

Hallo kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein....die Formel der gleichförmig gradlinigen Bewegukg lautet ja V=s/t aber ich habe ja nichts mit der stecke gegeben also ist das unnötig...

Geg. h_M= 2m   h_L=10m   V=4km/h

Ges. V_Schattenspitze

Vielen lieben Dank im Voraus:)

Bild Mathematik

von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Da ich mich auch etwas mit der Frage
beschÀftigt habe hier meine Lösung / ErklÀrung

Skizze 1 zeigt die VerhĂ€ltnisse fĂŒr den
Fußpunkt des Mannes
s = v * t

Skizze 2 die VerhĂ€ltnisse auch fĂŒr den
Schatten an der Kopfposition.

Bild Mathematik

Die Berechnungen sind

Bild Mathematik

Heraus kommt das k ÂŽ oder Geschwindigkeit des Schattens
in Kopfposition gleich 5/4 * v = 5 km/h ( const ) ist.

mfg Georg

von 7,0 k

Super vielen Dank fĂŒr die tollen antworten:)

Das hat mir super weitergeholfen....

Noch eine Sache zur 2. Frage bezĂŒglich das sich Ă€ndert wenn die Lampe jetzt irgendwo auf der Strecke steht...also die V wird doch nicht mehr so schnell sein wie zuvor bzw. wenn er sich ja direkt unter ihr befindet bewegt sich der Schatten ĂŒberhaupt nicht und wenn er auf die Lampe zulĂ€uft ist der Schatten ja hinter ihm und V ist klein oder???

Ich interpretiere den Fragetext so.
1. Der Mann hat die Lampe im RĂŒcken und
entfernt sich.
2. Der Mann geht  auf die Lampe zu, befindet
sich unter ihr und entfernt sich.
Da die Geschwindigkeit des Mannes immer konstant
ist ist auch die Geschwindigkeit des Schattens
immer konstant.
Direkt unterhalb der Lampe ist SchattenlÀnge
des Mannes allerdings null.


+3 Daumen

Betrachte das Problem zunÀchst rein statisch.

Bild Mathematik

Der Lichtstrahl zur Spitze des Schattens geht von der Lampe \(L\) 'durch' die Spitze des Mannes \(M\) und trifft den Boden bei \(S\) - die Position der Schattenspitze. In vektorieller Darstellung dieses Strahls \(g\) kann man also schreiben:

$$g = L + (M-L) t$$

Die Ebenengleichung fĂŒr den Boden (dort ist der Schatten) in der Hesseschen Normalform lautet

$$e_z \cdot x =0$$

und daraus lĂ€sst sich dann die Position der Spitze des Schattens \(S\) berechnen. Ich setze \(g\) fĂŒr \(x\) ein:

$$e_z \cdot \left( L + (M-L) t\right) =0 \quad \Rightarrow t=\frac{e_z \cdot L}{e_z \cdot (L-M)}$$

so bekommt man das \(t\) und daraus folgt die Position fĂŒr \(S\) nach Einsetzen in die Gleichung des Lichtstrahls:

$$S = L + (M-L) \frac{e_z \cdot L}{e_z \cdot (L-M)}$$

Es ist Dir vielleicht aufgefallen, dass ich bisher nicht festgelegt habe, ob es sich um ein 2- oder 3-dimensionales Problem handelt. Vielleicht scheint Dir der Weg bisher zu 'kompliziert'. Aber ich habe ihn mit Absicht gewĂ€hlt, um den 2.Fall (Laterne nicht im RĂŒcken des Mannes) gleich mit zu behandeln.

Nehmen wir mal den einfachen Fall (Laterne im RĂŒcken des Mannes), dann liegen alle Positionen in einer Ebene so wie in der Skizze oben. Die Laterne stehe an der Position 0 und der Mann befinde sich bei \(x\) - also ist

$$L=\begin{pmatrix} 0 \\ h_L \end{pmatrix}; \space M= \begin{pmatrix} x \\ h_M \end{pmatrix}$$

Einsetzen in die Gleichung fĂŒr S ergibt

$$S = \begin{pmatrix} 0 \\ h_L \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ h_M - h_L \end{pmatrix} \frac{h_L}{h_L - h_M}=\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ -8 \end{pmatrix} \frac{10}{8}=\begin{pmatrix} \frac{5}{4}x \\ 0 \end{pmatrix} $$

Es ist keine Überraschung, dass die Z-Koordinate immer =0 ist und die Schattenspitze liegt immer um den Faktor 5/4 vor dem Mann. Die Geschwindikeit ist die Ableitung nach der Zeit  -also kommt man zur Geschwindigkeit \(v_s\) der Schattenspitze:

$$\dot S = \vec{v_S}= \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \dot x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} v \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{5}{4} \begin{pmatrix}  v \\ 0 \end{pmatrix}= \frac{5}{4}\vec{v}$$

oder auch, wenn man die Bewegung in nur einer Dimension betrachtet

$$v_S=\frac{5}{4} v$$

Der Übergang in das 3-dimensionale ist jetzt trivial. Betrachte die Variable \(x\) einfach als 2-dimensionale Position auf dem Boden und deren Ableitung nach der Zeit als die Geschwindigkeit \(\vec{v}\) des Mannes. Ich ĂŒbernehme einfach, was schon oben steht:

$$\vec{v_S}=\frac{5}{4} \vec{v}$$

von 4,2 k
+2 Daumen

Der Mann beginnt senkrecht unter der Laterne. Sein Schatten hat die LĂ€nge 0. Dann lĂ€uft er 4 km die Straße geradeaus. Dann ist die Spitze seines  Schattens s bei 4+s km. Daraus ergibt sich eine Strahlensatzfigur und daher s/2=(4+s)/10. Daraus errechnet sich s=1. In einer Stunde bewegt sich die Schattenspitze 5 km.

von

Sehr vielen Dank:)

Ich habe aber noch eine Frage. Wie kommen sie dann ganz am Ende auf die 5km?

Hall Ju1234,

die Gleichung s/2 = (4+s)/10 ist fĂŒr s = 1 erfĂŒllt.
Das kann man durch Probieren oder nach s auflösen
herausfinden. Die SchattenlÀnge ist also s = 1km, wenn der Mann 4km weit gelaufen ist.

Der Mann lĂ€uft die 4km in einer Stunde und das bedeutet, dass die Spitze des Schattens 5km in einer Stunde zurĂŒckgelegt hat (siehe Skizze unten).

Bild Mathematik Beste GrĂŒĂŸe
gorgar

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Nanolounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community