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Aufgabe:

Stellt sich zusätzlich zu der Nichtauflösbarkeit des Mehrfachauftretens einzelner Eingangswerte auch noch heraus, dass alle auftretenden partiellen Ableitungen verschwinden, bleibt nur noch ein Einsetzen der Fehlerintervallgrenzwerte zur Bestimmung eines Fehlers. Als Fehlerwert wird die maximale Abweichung gewählt. (Der Ergebniswert ergibt sich durch Einsetzen der jeweiligen Zwischenwerte, bzw. Messwerte.)

Bestimmen Sie ein Zwischenergebnis b = 1,5 * (a + 1/a) mit der Messgröße a = 1,00 ± 0,22.

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Bestimmung des Zwischenergebnisses und der maximalen Abweichung

Um das Zwischenergebnis für \( b \) zu bestimmen, wenn \( a = 1,00 \pm 0,22 \), verwenden wir die gegebene Formel:
\( b = 1,5 \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right) \)

Zuerst berechnen wir den mittleren Wert von \( b \), indem wir den Mittelwert von \( a \), d.h. 1,00, in die Formel einsetzen:
\( b_{mittel} = 1,5 \cdot \left( 1,00 + \frac{1}{1,00} \right) = 1,5 \cdot (1 + 1) = 1,5 \cdot 2 = 3,0 \)

Nun müssen wir die maximale Abweichung von \( b \) bestimmen, um den maximalen und den minimalen Wert zu finden, den \( b \) annehmen kann. Dazu setzen wir die Grenzwerte von \( a \) (d.h. \( 1,00 + 0,22 \) und \( 1,00 - 0,22 \)) in die Formel für \( b \) ein und wählen den Wert, der am weitesten vom Mittelwert von \( b \) entfernt liegt.

1. Maximaler Wert von \( b \) für \( a = 1,22 \):
\( b_{max} = 1,5 \cdot \left( 1,22 + \frac{1}{1,22} \right) \)
Berechnen wir den Term in der Klammer:
\( 1,22 + \frac{1}{1,22} = 1,22 + 0,8197 \approx 2,0397 \)
Setzen wir dies zurück in die Formel ein:
\( b_{max} = 1,5 \cdot 2,0397 \approx 3,0596 \)

2. Minimaler Wert von \( b \) für \( a = 0,78 \):
\( b_{min} = 1,5 \cdot \left( 0,78 + \frac{1}{0,78} \right) \)
Wiederum berechnen wir erst den Term in der Klammer:
\( 0,78 + \frac{1}{0,78} = 0,78 + 1,2821 \approx 2,0621 \)
Und setzen dies zurück in die Formel ein:
\( b_{min} = 1,5 \cdot 2,0621 \approx 3,09315 \)

Da \( b_{min} \approx 3,09315 \) weiter vom Mittelwert \( b_{mittel} = 3,0 \) entfernt ist als \( b_{max} \approx 3,0596 \), ist die Maximale Abweichung \( \Delta b \) gegeben durch die Differenz zwischen \( b_{min} \) und \( b_{mittel} \):
\( \Delta b = b_{min} - b_{mittel} \approx 3,09315 - 3,0 = 0,09315 \)

Somit ergibt sich als Zwischenergebnis \( b = 3,0 \pm 0,093 \), wobei die maximale Abweichung bei circa \( \pm 0,093 \) liegt.
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