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Aufgabe: Kraft auf Punktladungen

Vier Punktladungen \( Q_{1}=Q_{3}=+Q>0 \) und \( Q_{2}=Q_{4}=-Q \) befinden sich in einer Ebene an den Stellen \( \vec{r}_{1}=(0, a, 0), \vec{r}_{2}=(-a, 0,0), \vec{r}_{3}=(0,-a, 0) \) und \( \vec{r}_{4}=(a, 0,0) \) mit \( a>0 \).

a) Bestimmen Sie die Kraft \( \vec{F}_{4} \), die die drei übrigen Ladungen auf \( Q_{4} \) ausüben, in Abhängigkeit von \( Q \) und \( a \).

b) Berechnen Sie \( \vec{F}_{4} \) für den Fall, dass \( Q=1 \mathrm{pC} \) und \( a=10 \mathrm{~nm} \).

c) Eine Punktladung mit \( Q_{5}=+Q \) wird nun an den Koordinatenursprung gebracht. Bestimmen Sie die Kraft \( \vec{F}_{5} \) auf \( Q_{5} \).

Hinweis: Teil c) kann auch ohne explizite Rechnung gelöst werden; begründen Sie in diesem Fall Ihr Ergebnis.

d) Überprüfen Sie, ob sich die Ladung \( Q_{5} \) in einem stabilen ( \( \mathrm{Kraft} \vec{F}_{5} \) ist der Auslenkung entgegengerichtet), instabilen (Kraft \( \vec{F}_{5} \) und Auslenkung sind gleichgerichtet) oder indifferenten \( \left(F_{5}=0\right) \) Gleichgewicht in Bezug auf eine (kleine) Auslenkung in \( x-, y \)-bzw. z-Richtung befindet.

Hinweis: Bestimmen Sie dazu die Kraft \( \vec{F}_{5} \) bei einer kleinen Verschiebung \( \Delta x \ll a \) von \( Q_{5} \) in \( x \)-Richtung, usw. Für kleine Werte \( z \) gilt: \( (1+z)^{\alpha} \approx 1+\alpha z \).

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a) Bestimmen Sie die Kraft \( \vec{F}_{4} \), die die drei übrigen Ladungen auf \( Q_{4} \) ausüben, in Abhängigkeit von \( Q \) und \( a \).

Um die Kraft \( \vec{F}_{4} \) zu bestimmen, verwenden wir das Coulomb'sche Gesetz:
\( \vec{F}_{ij} = k \frac{Q_{i} Q_{j}}{r_{ij}^{2}} \hat{r}_{ij}, \)
wobei \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\) die Coulomb-Konstante, \(Q_{i}\) und \(Q_{j}\) die Ladungen, \(r_{ij}\) der Abstand zwischen den Ladungen und \(\hat{r}_{ij}\) der Einheitsvektor von Ladung \(i\) in Richtung \(j\) ist.

Für \(Q_{4}\) müssen wir die Beiträge der Kräfte durch die Ladungen \(Q_{1}\), \(Q_{2}\), und \(Q_{3}\) betrachten.

- Kraft \( \vec{F}_{41} \) aufgrund von \( Q_{1} \): Die Ladungen \( Q_{4} \) und \( Q_{1} \) haben einen horizontalen Abstand von \(2a\), und \( Q_{4} \) wird von \( Q_{1} \) angezogen, da \(Q_{1}\) positiv und \(Q_{4}\) negativ ist. Die Richtung ist entlang der x-Achse.
\( \vec{F}_{41} = k\frac{Q (-Q)}{(2a)^{2}} = -k\frac{Q^{2}}{4a^{2}} \hat{i} \)

- Kraft \( \vec{F}_{42} \) aufgrund von \( Q_{2} \): Die Ladungen \( Q_{4} \) und \( Q_{2} \) haben einen Abstand von \(a\) und stoßen sich ab, da beide negativ sind. Die Kraft ist entlang der y-Achse.
\( \vec{F}_{42} = k\frac{-Q (-Q)}{a^{2}} = -k\frac{Q^{2}}{a^{2}} \hat{j} \)

- Kraft \( \vec{F}_{43} \) aufgrund von \( Q_{3} \): Ähnlich zu \(F_{41}\), \(Q_{3}\) zieht \(Q_{4}\) an und die Kraft wirkt entlang der negativen x-Achse.
\( \vec{F}_{43} = -k\frac{Q^{2}}{4a^{2}} \hat{i} \)

Die Gesamtkraft \( \vec{F}_{4} \) ist die Summe der drei Kräfte. Da \( \vec{F}_{42} \) in eine völlig andere Richtung zeigt (entlang der y-Achse) und \( \vec{F}_{41} \) und \( \vec{F}_{43} \) sich in ihrer Wirkung entlang der x-Achse aufheben, ergibt sich:
\( \vec{F}_{4} = \vec{F}_{41} + \vec{F}_{42} + \vec{F}_{43} = (-k\frac{Q^{2}}{4a^{2}} -k\frac{Q^{2}}{4a^{2}}) \hat{i} -k\frac{Q^{2}}{a^{2}} \hat{j} = -k\frac{Q^{2}}{a^{2}} \hat{j} \)

b) Berechnen Sie \( \vec{F}_{4} \) für den Fall, dass \( Q=1 \mathrm{pC} \) und \( a=10 \mathrm{~nm} \).

Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:
\( Q = 1 \, \text{pC} = 1 \times 10^{-12} \, \text{C}, \quad a = 10 \, \text{nm} = 10 \times 10^{-9} \, \text{m}, \quad k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.987 \times 10^{9} \, \text{N m}^2/\text{C}^2 \)
\( \vec{F}_{4} = -8.987 \times 10^{9} \frac{(1 \times 10^{-12})^2}{(10 \times 10^{-9})^2} \hat{j} = -8.987 \times 10^{9} \times \frac{1 \times 10^{-24}}{100 \times 10^{-18}} \hat{j} = -8.987 \times 10^{-15} \, \text{N} \hat{j} \)

c) Eine Punktladung mit \( Q_{5}=+Q \) wird nun an den Koordinatenursprung gebracht. Bestimmen Sie die Kraft \( \vec{F}_{5} \) auf \( Q_{5} \).

Da \( Q_{5} \) die gleiche Ladungsmenge \( +Q \) hat wie \( Q_{1} \) und \( Q_{3} \), aber entgegengesetzt zu \( Q_{2} \) und \( Q_{4} \), und sich im Zentrum dieser Konfiguration befindet, erfährt sie eine symmetrische Anziehung und Abstoßung von allen vier Ladungen. Die Anziehungen und Abstoßungen heben sich exakt auf, was bedeutet, dass die resultierende Kraft auf \( Q_{5} \) null ist, unabhängig von den Werten von \( Q \) und \( a \).

\( \vec{F}_{5} = \vec{0} \)

d) Überprüfen Sie, ob sich die Ladung \( Q_{5} \) in einem stabilen, instabilen oder indifferenten Gleichgewicht in Bezug auf eine (kleine) Auslenkung befindet.

Da \( \vec{F}_{5} = \vec{0} \) für \( Q_{5} \) im Zentrum, betrachten wir eine kleine Verschiebung \( \Delta x \) in alle drei Richtungen (x, y, z). Aufgrund der Symmetrie der Ladungsverteilung und den Eigenschaften des elektrostatischen Feldes werden sich die Kräfte, die aufgrund einer kleinen Verschiebung in jede Richtung entstehen, ebenfalls aufheben, was bedeutet, dass keine rückstellende Kraft existiert, die \( Q_{5} \) in seine ursprüngliche Position zurückbringt.

Das bedeutet, dass \( Q_{5} \) sich in einem indifferenten Gleichgewicht befindet, da keine Änderung in der Kraft auf \( Q_{5} \) bei einer kleinen Verschiebung in irgendeine Richtung auftritt.
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