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Aufgabe Elektronenspinresonanz beim Rubin:

Der Rubin ( \( \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3} \) Korrundkristall mit \( \mathrm{Cr}^{3+} \) Ionen verunreinigt) werde mit ESR untersucht. Um ein lösbares Modell zu bekommen, dessen Vorhersagen mit dem Experiment verglichen werden können, beschränkt man sich in einem sehr vereinfachten Modell auf den Grundzustand des \( \mathrm{Cr}^{3+} \)-Ions. Nach der Hundschen Regel hat dieser die Spinquantenzahl \( \mathrm{S}=\frac{3}{2} \), ist also ohne äußere Felder \( 2 S+1=4 \) fach entartet. In diesem vierdimensionalen \( \mathbb{C} \)-Vektorraum beschreibt

\( H=\mu_{B} B\left(g_{\|} \cos \theta S_{z}+g_{\perp} \sin \theta S_{x}\right)+h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} S(S+1) E_{4}\right) \)

die Wechselwirkung mit einem zeitunabhängigen äußeren Magnetfeld \( \vec{B} \). Hier ist \( \theta \) der Winkel zwischen \( \vec{B} \) und einer ausgezeichneten Kristallachse, \( g_{\|}, g_{\perp} \) sind Materialkonstanten des Rubins, die pararllel bzw. senkrecht zu dieser Kristallachse verschiedene Werte annehmen. (Tabellenwerte: \( g_{\|}=1,984 \) und \( \left.g_{\perp}=1,9867, \mathrm{D}=5,7235 \mathrm{GHz}\right) \)
\( S_{x}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{array}\right), S_{z}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \end{array}\right) \)

\( h \) ist die Plankkonstante und \( \mu_{B}=9,2741 \cdot 10^{-24} \frac{J}{T} \) das Bohrsche Magneton.

Aufgaben:

a) Berechne für \( \theta=0 \) die Eigenwerte und Eigenvektoren von \( H \) (diese sind dann noch von \( B \) abhängig!)

b) Bestimme die Eigenwerte von \( H \) für \( \theta=\frac{\pi}{2} \) (diese sind dann noch von \( B \) abhängig!)

c) Es bezeichne \( E_{1}(B) \leq E_{2}(B) \leq E_{3}(B) \leq E_{4}(B) \) die eben berechneten Eigenwerte und \( \Psi_{1}, \Psi_{2}, \Psi_{3}, \Psi_{4} \) die zugehörigen Eigenvektoren. Nun wird ein zeitabhängiges äußeres Feld mit Frequenz \( \nu \) eingeschaltet. Gilt dann \( h \nu=E_{k}(B)-E_{j}(B) \), so werden dadurch Übergänge \( \Psi_{k} \leftrightarrow \Psi_{j} \) angeregt. Diese Übergänge zeigen sich durch Peaks in der ESR Messung. Wie viele Peaks erwartet man von den Übergängen \( \Psi_{1} \leftrightarrow \Psi_{2}, \Psi_{2} \leftrightarrow \Psi_{3} \) und \( \Psi_{3} \leftrightarrow \Psi_{4} \) bei einer der Messungen, wenn \( B \) zwischen \( 0 T \) und \( 0,5 T \) variiert wird und die Frequenzen \( \nu_{1}=10,050 \mathrm{GHz}, \nu_{2}=9,647 \mathrm{GHz} \) und \( \nu_{3}=9,188 \mathrm{GHz} \) verwendet werden?

Hinweis: Man überlege sich zunächst, welche Teilaufgaben man ohne große Rechnungen erledigen kann (und mache dies); für den Rest gibt es Computeralgebraprogramme.

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Antwort mit KI erzeugt

a) Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren für \( \theta=0 \)

Für \( \theta=0 \) vereinfacht sich der Hamilton-Operator zu:
\( H=\mu_{B} B g_{\|} S_{z} + h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} S(S+1) E_{4}\right) \)

Wir setzen die Werte von \( S_{z} \) und \( E_{4} \) (die 4x4 Einheitsmatrix) ein. \( S(S+1) \) für \( S=\frac{3}{2} \) ist \( \frac{3}{2}(\frac{3}{2}+1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{4} \).

\( H = \mu_{B} B g_{\|} S_{z} + h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} E_{4}\right) \)

Nach Einsetzen der Werte von \( S_{z} \) erhalten wir:

\( H = \mu_{B} B g_{\|} \left(\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \end{array}\right) + h D\left(\left(\begin{array}{cccc} \frac{9}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{9}{4} \end{array}\right)-\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} E_{4}\right) \)

Berechnung des zweiten Terms:
\( h D\left(\begin{array}{cccc} \frac{9}{4}-\frac{5}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4}-\frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}-\frac{5}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{9}{4}-\frac{5}{4} \end{array}\right) = h D\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)

Unter Verwendung der gegebenen Werte ist:
\( H = \mu_{B} B g_{\|} \left(\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \end{array}\right) + 5,7235 \times 10^9 \cdot h \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)

Da \( h \) die Einheit hat, die Energie in Hz ausdrückt, und \( \mu_{B} \) und \( g_{\|} \) bekannt sind, vereinfacht sich dieses Problem zu einem Eigenwertproblem für vier diagonale Matrizen, dessen Eigenwerte direkt von den Diagonalelementen der Matrizen gelesen werden können und deren Eigenvektoren die Standardbasis im \( \mathbb{C}^4 \) sind.

b) Bestimmung der Eigenwerte für \( \theta=\frac{\pi}{2} \)

Für \( \theta = \frac{\pi}{2} \), wird der Hamilton-Operator zu:
\( H=\mu_{B} B g_{\perp} S_{x} + h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} S(S+1) E_{4}\right) \)

Dies erfordert die Einsetzung und Berechnung der Matrizenmultiplikation für \( S_{x} \), was komplizierter ist. Da der Teil mit \( S_{z} \) unverändert bleibt und nur zum diagonalen Teil beiträgt, konzentrieren wir uns auf den \( S_{x} \)-Teil, welcher nicht-diagonal ist.

Die Berechnung der genauen Eigenwerte von \( H \) in diesem Fall ohne Computeralgebrasystem ist nicht trivial, da sie die Lösung eines charakteristischen Polynoms vierten Grades erfordert. Jedoch kann festgehalten werden, dass die Eigenwerte von \( H \) für \( \theta=\frac{\pi}{2} \) von der Struktur und Werten von \( S_x \) sowie \( B \), \( g_{\perp} \), \( \mu_{B} \), und \( D \) abhängen.

c) Anzahl der Peaks in der ESR Messung

Die Anzahl der Peaks ist von den möglichen Übergängen zwischen den Energieniveaus abhängig. Jede Differenz \( E_{k}(B) - E_{j}(B) \), die einer der gegebenen Frequenzen entspricht, kennzeichnet einen solchen Übergang.

Ohne die genauen Eigenwerte zu kennen, ist es schwierig, die exakte Anzahl der Peaks zu bestimmen. Allerdings kann man allgemein sagen, dass für jedes Frequenzpaar \( \nu_1 \), \( \nu_2 \), und \( \nu_3 \), das eine Energieübergangsdifferenz exakt entspricht, ein Peak vorhanden sein wird. Die Variabilität von \( B \) in einem Bereich von \( 0 T \) bis \( 0,5 T \) beeinflusst dies, indem sie die exakte Position der Peaks beeinflusst, nicht jedoch die grundsätzliche Anwesenheit dieser Peaks, unter der Annahme, dass die Energiedifferenzen monoton bezüglich \( B \) sind.

Da die genaue Bestimmung der Peaks konkrete Eigenwertberechnungen erfordert, ist eine exakte Antwort hier nur mit detaillierteren Berechnungen oder unter Verwendung eines Computeralgebraprogramms möglich.
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