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Anfängliche kinetische Gesamtenergie
Um die anfängliche kinetische Gesamtenergie des Systems zu berechnen, nutzen wir die Basisformel für kinetische Energie \(E_{k} = \frac{1}{2}mv^2\), wobei \(m\) die Masse und \(v\) die Geschwindigkeit des Teilchens ist. Im Schwerpunktsystem ist der Gesamtimpuls des Systems Null. Hier wurden die Impulse der beiden Teilchen so gewählt, dass sie sich gegenseitig aufheben (\(p_2 = -p_1\)).
Um die Geschwindigkeiten der Teilchen zu berechnen, nutzen wir die Definition des Impulses \(p = mv\), was bedeutet, dass \(v = \frac{p}{m}\).
Die anfängliche kinetische Energie von \(m_1\) ist:
\(E_{k1} = \frac{1}{2}m_1\left(\frac{p_1}{m_1}\right)^2 = \frac{p_1^2}{2m_1}\)
Die anfängliche kinetische Energie von \(m_2\) ist:
\(E_{k2} = \frac{1}{2}m_2\left(\frac{p_2}{m_2}\right)^2 = \frac{p_2^2}{2m_2} = \frac{p_1^2}{2m_2}\)
Daher ist die gesamte anfängliche kinetische Energie des Systems:
\(E_{kgesamt} = E_{k1} + E_{k2} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_1^2}{2m_2}\)
Kinetische Gesamtenergie nach dem Stoß
Nach einem elastischen Stoß bleibt die kinetische Gesamtenergie des Systems erhalten. Folglich ist die kinetische Gesamtenergie nach dem Stoß gleich der anfänglichen kinetischen Gesamtenergie:
\(E_{kgesamt}' = E_{kgesamt} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_1^2}{2m_2}\)
Zur Berechnung der kinetischen Energie nach dem Stoß mit \(p'_1\) als neuen Impuls von \(m_1\), verwenden wir den Erhalt von Energie und Impuls. Da das System abgeschlossen ist, bleiben sowohl die Gesamtenergie als auch der Gesamtimpuls gleich.
Da \(E_{kgesamt}\) konstant bleibt, erhalten wir, dass \(p'_1\) so beschaffen sein muss, dass es den gleichen Beitrag zur kinetischen Energie liefert, was bedeutet, dass \(p'_1 = \pm p_1\).
Bedeutung des Pluszeichens \(+\) in der Lösung
Das \(+\) Zeichen in der Lösung \(p'_1 = \pm p_1\) deutet darauf hin, dass die Impulse nach dem Stoß entweder die gleiche Richtung und den gleichen Betrag wie die anfänglichen Impulse haben können (positives Vorzeichen) oder exakt umgekehrt sein können (negatives Vorzeichen). Das heißt, die Teilchen können nach dem Stoß entweder weiterhin in die gleiche Richtung wie zuvor bewegen oder ihre Bewegungsrichtung umkehren. Beide Szenarios sind mit dem Energie- und Impulserhaltungsprinzip vereinbar. Insbesondere im Kontext elastischer Stöße bedeutet das positive Vorzeichen, dass die Teilchen so wechselwirken können, dass sie in ihrer ursprünglichen Bewegungsrichtung weiterlaufen, ohne ihre kinetische Energie zu verlieren.
