Einstieg in Kurvenintegrale, Verständnisprobleme mit Differentialen

Question

Wir haben in der PC1 Vorlesung Kurvenintegrale von Differentialen kennengelernt.

Beispiel:

$$ \delta z\quad =\quad (x²y)dx\quad +\quad (xy²)dy $$
von (1,1) nach (2,3)
Der Weg war Linear von z0 nach z1, also

y(x)=2x-1
dy=2

1. Frage:
Ist das dy nur die Ableitung von y oder die absolute Änderung von y0 nach y1?

2. Frage:

Das gegebene Differential ist kein totales Differential, also ist es nicht gleich, wenn man verschiedene Wege brechnet, aber wie hängt dieses Differential denn zusammen mit einer Funktion? Denn wenn ich mir eine Funktion überlege und daran Kurvenintegrale berechnen will, dann bilde ich das totale Differential, was immer 0 als Wert bekommt. Ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz zwischen den Differentialen und den Funktionen zur Berechnung von Wegintegralen.

3. Frage:

Ich möchte einen Weg "niedigester Arbeit bzw Energie" beschreiten:

$$z(x,y)\quad =\quad x²\quad +3\quad y²\quad -\quad \cfrac { 7 }{ 2 } xy$$

von (0,0) nach (3,3)

Ich wollte den Weg mit dem niedrigsten Wert, also habe ich die Tiefpunkte in Abhängigkeit der anderen Variablen geschrieben:

$$\cfrac { \partial z }{ \partial y } =6y-\cfrac { 7 }{ 2 } \quad \Rightarrow \quad y(x)=\cfrac { 7 }{ 12 } x$$
und in mein Integral eingesetzt:

$$\Delta z=\int _{ 0 }^{ 3 }{ (x²+3(\cfrac { 7 }{ 12 } x)²-\cfrac { 7 }{ 2 } x*\cfrac { 7 }{ 12 } x)dx+\int _{ \cfrac { 21 }{ 12 }  }^{ 3 }{ (9+3y²-\cfrac { 7 }{ 2 } *3y)dy\quad =\quad -\cfrac { 3 }{ 16 } +\cfrac { 55 }{ 32 } =\cfrac { 49 }{ 32 } \approx 1,53 }  } $$

Aber ich habe Wegen gefunden, bei denen sogar -15,1875 rauskommen, wie kann das sein?

Frage 4:

Wenn ich ganz vereinfacht die Funktion z(x,y) = 1 nehme und von (0,0) nach (3,3) den Pfad direkt integriere, wieso ist der Wert 3 und nicht 3*√2 ?
Wie bekomme ich die √2 in mein Ergebnis, schließlich sollte das nach Pythagoras herauskommen.

Comments

Bei Frage 3 habe ich mich vertippt.

$$\cfrac { \partial z }{ \partial y } =6y-\cfrac { 7 }{ 2 } x$$

Da fehlte das x, aber steht ja dann auch nach dem Folgepfeil

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Frage 1 und 4 konnte mir schon jemand beantworten, wenn sich jemand für die Antwort interessiert, poste ich sie gerne. Für 2 und 3 hätte ich immer noch gerne einen hilfsbereiten Menschen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Einstieg in Kurvenintegrale, Verständnisprobleme mit Differentialen

Das Thema Kurvenintegrale kann am Anfang komplex erscheinen, besonders wenn es um die Unterscheidung von Differentialen und deren Zusammenhang mit Funktionen geht. Lass uns deine Fragen Schritt für Schritt durchgehen.

1. Frage: Ist das \(dy\) nur die Ableitung von \(y\) oder die absolute Änderung von \(y_0\) nach \(y_1\)?

In der gegebenen Formulierung, \(y(x) = 2x - 1\), ist \(dy\) das Differential von \(y\), welches die Ableitung von \(y\) nach \(x\) multipliziert mit dem infinitesimalen Zuwachs \(dx\) darstellt. Wenn du schreibst \(dy = 2\), ist das nicht ganz korrekt im gegebenen Kontext, denn tatsächlich sollte es \(dy/dx = 2\) sein, was bedeutet, dass für ein infinitesimales \(dx\) die Veränderung von \(y\), also \(dy\), zweimal so groß ist. Um die absolute Änderung von \(y_0\) nach \(y_1\) über den linearen Weg zu finden, setzt man die End- und Anfangspunkte in \(y(x)\) ein oder berechnet das Integral von \(dy\) über den entsprechenden \(x\)-Bereich.

2. Frage: Zusammenhang zwischen Differentialen und Funktionen zur Berechnung von Wegintegralen

Ein totales Differential einer Funktion \(f(x, y)\) gibt die Änderung der Funktion basierend auf den Änderungen von \(x\) und \(y\) an, repräsentiert durch \(df = f_x dx + f_y dy\), wobei \(f_x\) und \(f_y\) die partiellen Ableitungen sind. Ein gegebenes Differential, das nicht total ist, bedeutet einfach, dass es sich nicht als das Differential einer spezifischen Funktion über den ganzen Bereich darstellen lässt, d.h., es kann nicht in der Form \(df\) für eine Funktion \(f\) geschrieben werden. Das Integral eines totalen Differentials über einen Pfad von Punkt A nach Punkt B ist unabhängig vom Pfad. Für ein nicht-totales Differential hängt das Ergebnis des Integrals vom genommenen Weg ab.

3. Frage: Weg "niedrigster Arbeit bzw. Energie"

Das Prinzip, den Weg der niedrigsten Arbeit oder Energie zu wählen, verlangt normalerweise die Optimierung eines Energieintegrals entlang eines Pfades. Dein Ansatz, die Tiefpunkte der partiellen Ableitung zu finden, ist ein guter Start. Offensichtlich scheint es Diskrepanzen in der Berechnung zu geben, insbesondere bei der Interpretation des Integrals und möglicherweise bei der Einsetzung der Funktion in die Integralfunktion. Erinnere dich, dass die Lösung stark davon abhängt, wie genau die Funktion \(z(x,y)\) in das Integral eingesetzt und über den entsprechenden Bereich integriert wird. Es wäre hilfreich, die Berechnung und die Annahme des Wegs sorgfältig zu überprüfen.

4. Frage: Vereinfachte Funktion \(z(x,y) = 1\) und direktes Integrieren

Wenn du die Funktion \(z(x, y) = 1\) von (0,0) nach (3,3) integrierst, ohne den geometrischen Pfad zu berücksichtigen, betrachtest du lediglich die Projektion des Pfades auf die \(x\)- oder \(y\)-Achse. Der Wert 3, der herauskommt, bezieht sich auf die horizontale oder vertikale Distanz, nicht die diagonale Wegstrecke. Um die Diagonale \(√2\) ins Spiel zu bringen, musst du den tatsächlichen Weg berücksichtigen, den du in einem Raum nimmst. Der direkte Weg von (0,0) nach (3,3) in einem Koordinatensystem bildet ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse man durch Anwendung des Satzes von Pythagoras erhält. Das Kurvenintegral über einen solchen Pfad würde die Länge dieser Hypotenuse bzw. den tatsächlichen Weg berücksichtigen. Um dies korrekt zu berechnen, müsstest du ein Kurvenintegral über den tatsächlichen Pfad und nicht nur über eine Projektion auf die Achsen berechnen.