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Hallo,

~draw~ kreis(0|0 10);punkt(0|4 "E1");punkt(0|-4 "E2");zoom(17) ~draw~

Ein Kästchen entspricht 1cm. Kreisradius: 10cm.

Die Erreger E1 und E2 schwingen gegenphasig mit der Wellenenlänge 4cm und der Amplitude 1mm.

"Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte mit maximaler Amplitude [(2mm)] auf diesem Kreis." (Orginal Fragestellung)

Die Lösung ist 8 Punkte. In der Lösung wird lediglich argumentiert warum es 8 Punkte sein müssen, das ist auch soweit alles verständlich.

Nun interessiert mich allerdings die Lösung der Aufgabe mit einer Rechnung:

$$\Delta s(\alpha )=\left| \left| { E }_{ 1 }P \right| -\left| { E }_{ 2 }P \right|  \right| \\ =\left| \sqrt { 116+80sin(\alpha ) } -\sqrt { 116-80sin(\alpha ) }  \right| $$

P(10cos(α)|10sin(α)) ist hierbei ein allgemeiner Punkt auf dem Kreis. Und die Funktion gibt den Wegunterschied der beiden Erreger in diesem Punkt an. Sieht ja dann so aus:

~plot~abs(sqrt(116+80sin(x))-sqrt(116-80sin(x)));zoom[[0|8|0|10]]~plot~

Nun müsste ich diese Gleichungen lösen:

$$2=\left| \sqrt { 116+80sin(\alpha ) } -\sqrt { 116-80sin(\alpha ) }  \right| \\ 6=\left| \sqrt { 116+80sin(\alpha ) } -\sqrt { 116-80sin(\alpha ) }  \right| $$

Da es bei einem Wegunterschied von einem ungeradzahligen Vielfachen der halben Wellenlänge (2cm und 6cm), aufgrund der Phasenverschiebung um π, zu einer konstruktiven Interferenz kommt.

Aber daran scheitere ich momentan (vielleicht stehe ich auch nur auf dem Schlauch ^^). Wäre über Tipps oder Lösungen sehr dankbar.

Gruß

EmNero

von

So,

ich hatte nur einen unnötigen Rechenfehler in meinem ersten Versuch -.-

$$2=\left| \sqrt { 116+80sin(\alpha ) } -\sqrt { 116-80sin(\alpha ) }  \right| \\ 4=232-2\sqrt { 13456-6400sin²(\alpha ) } \\ 114=\sqrt { 13456-6400sin²(\alpha ) } \\ 12996=13456-6400sin²(\alpha )\\ \frac { 460 }{ 6400 } =sin²(\alpha )\\ \alpha =arcsin(\sqrt { \frac { 460 }{ 6400 }  } )$$

Die Periode beträgt ja π.

Dann sind die Lösungen natürlich x1=α, x2=π-α, x3=π+α und x4=2π-α

Wäre dieses Problem auch gelöst ^^

Gruß

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