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Aufgabe:

Gesamtwiderstand einer Widerstandsleiter berechnen


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe zur Widerstandsberechnung, deren Lösung mir zwar bekannt ist, die aber interessant ist für alle, die sich im Berechnen von Widerstandsnetzwerken üben wollen.

Gegeben ist das Widerstandsnetzwerk in Form einer Leiter, die unendlich lang ist (Bild).
Gesucht ist der Gesamtwiderstand zwischen A und B, wenn

alle Holmwiderstände \(\large R_{1} = 1Ω\)   und

alle Sprossenwiderstände \(\large R_{2} = 4Ω\)   haben.

Hierzu ein Hinweis: die Berechnung scheint schwieriger zu sein als sie tatsächlich ist.

Widerstandsleiter A 75.jpg  

Gruß von hightech

Avatar von 1,6 k

schöne Aufgabe. Über eine Excel-Reihe bin ich auch auf 4 Ω gekommen, das aber auch erst nach einigen Schleifen. Ich hatte Vorgesetzte, die meine Excel-Affinität nicht immer gut fanden, Erfolg hatte ich dennoch damit.

Wie sieht denn jetzt die nichtschwierige Berechnung aus? Etwa so wie die Antwort von Enano?

Hallo Karl60,

neu und interessant für mich ist, dass es auch nach deiner Methode mit Hilfe einer Excel-Tabelle geht. Prima!

Zu deiner Frage "Wie sieht denn die nichtschwierige Berechnung aus?"

Nun, da Enano die Lösung bereits angegeben hat, überlasse ich ihm den Vortritt den Lösungsansatz zu erklären. Dieser Lösungsansatz ergibt sich durch eine einfache Überlegung, die man in wenige Worte fassen kann, ohne Mathematik. Diese Überlegung (bzw. logische Gedanke) kann Enano bestimmt erklären. Falls nicht, dann werde ich mich wieder melden.

Gruß von hightech

... überlasse ich ihm den Vortritt den Lösungsansatz zu erklären.

Vielen Dank. Siehe meine ergänzte Antwort.

Die Erklärung von Enano ist richtig. Ich will es aber mal anhand des Bildes erklären:

Wenn man die Widerstandsleiter an einer beliebigen Stelle a, b, c, d oder anderer Stelle aufschneidet, dann ist der Eingangswiderstand der restlchen Widerstandsleiter -abwärts betrachtet- stets gleich dem Gesamtwiderstand RG , da die Leiter unendlich lang ist.

Somit ist der Gesamtwiderstand RG bezüglich den Klemmen A und B gleich dem "Restwiderstand" der Widerstandsleiter (an einer beliebigen Stelle), also RG, parallel mit R2 plus die beiden Holmwiderstände R1 . Dieser verbal erklärte Zusammenhang jetzt in die angegebene Gleichung umsetzen und die Gleichung nach RG auflösen.

Widerstandsleiter A 75 modi.jpg

Gruß von hightech

Hier noch eine Ergänzung zu der Widerstandsleiter:

Solche Aufgaben sind keineswegs nur rechnerische Spielereien. Diese (und ähnliche Systeme) werden in der Übertragungstechnik genutzt wenn es darum geht impedanzrichtig Signale zu bedämpfen ( Stichwort Dämpfungsglieder).

Gruß von hightech

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo hightech,

RG = 2 * R1 +  (R2 * RG)  / (R2 + RG)

Als Lösung der gemischt quadratischen Gleichung ergibt sich:

RG = R1 ± √(2 * R1 * R2 + R12)

R2 = 4 * R1

RG = R1 ± √((2 * R1 * 4 * R1 + R12) = R1 ± √((9 * R12) = R1 ± 3 * R1

Weil der Gesamtwiderstand nicht negativ sein kann, bleibt RG = 4 * R1 = 4 * 1Ω = 4Ω = R2 übrig.

Gruß Enano

Nachtrag Lösungsansatz:

Würden die 3 in der Darstellung mit R1 und R2 bezeichneten Widerstände entfernt werden, wäre der Gesamtwiderstand RG bei einer unendlich langen Leiter immer noch genauso groß, d.h. R2 liegt parallel zu RG →  ( R2 * RG) / (R2 + RG). Zu dieser Parallelschaltung liegen die beiden Widerstände R1 in Reihe, so dass der Gesamtwiderstand RG = 2 * R1 +  (R2 * RG)  / (R2 + RG) beträgt.

Avatar von 4,2 k
Die zu R2 parallell geschaltete unendliche Kette wird bei genügend Gliedern auch ohne Exel-Tabelle letzlich zu 0 Ohm werden.Nun noch zu dem resultierenden Nullohm-Widerstand die beiden R1 in Reihe dazuzählen - und es werden 2 Ohm herauskommen.Wozu quadratische Gleichung ? Das ist eine Reihenentwicklung !

ich zeige das 'mal als Tabelle

Anzahl der Sprossen
Gesamtwiderstand
1
6 Ω
2
4,4 Ω
3
4,095 Ω
4
4,024 Ω
5
4,0059 Ω
6
4,0015 Ω
7
4,00037 Ω
8
4,000092 Ω

Dodala Duhananda, rechne bitte nach.

laut Erstposter:  R_{1} = 1Ω\


bei R1=2Ohm kommt am unendlichen Ende 4 Ohm raus.

die Tabelle bezieht sich auf R1=1 Ω, die unendliche Kette hat einen Widerstand ≠ 0 Ω

die Tabelle bezieht sich auf R1=1 Ω

Der Strom fließt von A durch R1 = 1 Ohm --- dann kommt die unendliche Kette mit so gut wie 0 Ohm --- durch den anderen Einohmwiderstand fließt der Strom nach B wieder heraus.

1 +1 = 2

bitte erkläre, wie da 4 Ohm rauskommen soll ...

ok - kapiert - habe meinen Fehler gefunden !

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