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Ein Freund hat mir heute versucht zu erklären, dass wenn ich die Geschwindigkeit verdopple, sich die Energie vervierfacht. Weiteres Beispiel: 4*v → 4²*Energie. Allgemein mit der Formel: Ekin ≈ 0,5*m*v²

Im Anschluss hat er mir folgendes geschrieben: 

"Die Einstein-Formel ist die relativistische Energie im Ruhesystem, wo v=0. Allgemeiner: E²=m²c4+m² c² v², die von mir genannte ist ein Spezialfall für kleine v/c ohne Ruheenergie. Dann ist dieses E annähernd mc² + 0.5 m v², das kommt von der Näherung Wurzel(1+x) approximativ 1+0.5x für kleine x."

Leider kapiere ich das nicht, könnte mir das jemand EINFACH erklären? Danke!!

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Also was er Einstein-Formel genannt hat, kennst du sicher? Das ist die Energie-Masse-Äquivalenz

E = mc2

Die gilt aber nur für ruhende Teilchen, für bewegte Teilchen muss sie auf die Formel korrigiert werden, die er dir genannt hat:

E2 = m2c4 + m2c2v2 = m2c4 + p2c2    (*)

Mir ist sie mit dem Impuls p = m*v geläufiger, aber das ist eigentlich egal. Auf jeden Fall sieht man, dass für v=0 die alte Formel reproduziert wird.

 

Jetzt folgt aber aus den Newtonschen Axiomen der klassischen Physik, dass die kinetische Energie eines Teilchens also seine Bewegungsenergie durch T = 1/2 m*v2 gegeben ist.

Damit unsere "neue" relativistische Physik Sinn ergibt, sollte sich dieser Fall reproduzieren, für die Bereiche, die wir vorher untersucht haben: das sind Bereiche mit kleinen Geschwindigkeiten, das heißt Geschwindigkeiten, die deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.

Für diese Geschwindigkeiten gilt aber

v²/c² << 1

wobei dieses doppelte < "viel kleiner" bedeutet.

 

Jetzt macht man etwas, was Physiker sehr gerne machen: Die relativ komplizierte Beziehung zwischen Energie und Geschwindigkeit führt man auf die lineare Abhängigkeit einer kleinen Größe zurück.

Man nutzt quasi das Prinzip der Ableitung aus: in einem kleinen Intervall sieht eigentlich jede (stetige, differenzierbare) Funktion aus, wie eine Gerade, wenn man genau genug hinguckt, dann sieht man die Krümmung überhaupt nicht mehr.

Für uns bewegt sich die Größe v²/c² nur auf einem sehr kleinen Bereich um die Null herum, also können wir die Formel (*) annähern.

Erstmal schreiben wir E als Funktion von v²/c²:

E = √(m2c4+m2c2v2) = mc2*√(1+v2/c2)

Also:
E(x) = mc²*√(1+x)

Jetzt nähern wir die Funktion in der Nähe von x=0 durch eine Gerade ein, das heißt, wir wählen die Darstellung:

E(x) ≈ E(0) + E'(0)*x

Dann stimmt sie im Nullpunkt sowohl im Funktionswert als auch in ihrer Steigung mit der richtigen Funktion überein und wenn man sich nur wenig aus dem Nullpunkt entfernt, dann bleibt die Näherung noch vertretbar.

E(0) = mc²*√(1+0) = mc²

E'(x) = mc²*1/(2√(1+x))
⇒ E'(0) = mc²*1/2√(1+0) = 1/2 mc²

Eingesetzt ergibt sich die Näherung:

E(x) ≈ mc² + 1/2 mc² * x

und wenn man nun wieder x = v²/c² einsetzt, erhält man:

E(x) ≈ mc² + 1/2 mv²

Bis auf die additive Konstante mc² entspricht das genau der kinetischen Energie der klassischen Mechanik. Da die Energie in der klassischen Mechanik aber sowieso nur bis auf eine Konstante definiert ist (Realität haben nur Energiedifferenzen) macht das nichts aus und man hat genau den klassischen Zusammenhang als Grenzfall der relativistischen Formel erhalten.

 

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E² = m²c4+m² c² v²

oder

Wurzel (E²) = Wurzel(m²c4+m² c² v²),  m²c4 aus der Wurzel rausziehen

E = mc2 * Wurzel (1+ v2/c2)

mit x  = v2/c2

E = mc2 * Wurzel(1 + x)

Da Wurzel (1 + x) für kleine x näherungsweise (1+0,5*x) ist, gilt:

E = mc2 * (1 + 0,5*x)

E = mc2 + 0,5*mc2*x

Für x galt v2/c2 und somit

E = mc2 + 0,5*mc2*v2/c2   (c2 kürzt sich im 2. Term raus)

E = mc2 + 0,5mv2

 

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