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Aufgabe:

Betrachten Sie eine Halbkugel mit dem Radius R. Ihre Dichte ρ(!r) ist (in Kugelkoordinaten)
gegeben als
$$ρ(r) = \frac{5M r^2}{2\pi R^5}$$
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Masse der Halbkugel M ist.
(b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts !rS =
(xS, yS, zS) der Halbkugel.
(c) (4 Punkte) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Halbkugel I bezüglich der z-Achse.


Problem/Ansatz

Kann wer über meine Notizen sehen ? Ich denke eig, dass diese ziemlich gut sind bis auf das Trägheitsmoment, ich hab keine Anhaltspunkte zu überprüfen ob dies korrekt ist.

Vielen Dank. :)S1.jpg

Text erkannt:

A41 Sehwerpumbt und Trägheits moment
\( \rho(r)=\frac{5 M}{2 \pi R^{5}} r^{2} \)
a).
\( \rho(r) \int \limits_{V} r^{2} \sin \theta r^{2} d V \)
\( \rho(r) \int \limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \int \limits_{0}^{k} r^{u} d r \)
\( g(\pi) 2 \pi \).
\( \begin{array}{l} \underbrace{[-\omega]_{0}^{\pi / 2}}_{1} \cdot\left[\frac{1}{5} \pi^{5}\right]_{0}^{R} \\ e^{5} R^{5}=M \frac{1}{5} R^{5} \end{array} \)
b) Soluvepunt
\( \begin{array}{l} X_{s}=\frac{1}{V} \int \limits_{V} \frac{M}{V} d V \Rightarrow \frac{1}{V} \int \limits_{V} r^{2} \sin \theta \cdot x d V \Rightarrow \frac{1}{V} \int \limits_{V} r^{3} \sin ^{2} \theta \cos \varphi d V \\ \frac{1}{V} \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos \int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin ^{2} \theta d \theta \int \limits_{0}^{R} r^{3} d r=\frac{1}{V}[\sin \varphi]_{0}^{2 \pi} \ldots \\ y_{s}=\frac{1}{V} \int \limits_{0}^{2 \pi} \sin \varphi x \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} \theta d \theta \int \limits_{0}^{e} r^{3} d r \\ 4 \text { beide Grensen gubon } 0 \\ \text { ergo } x_{S}=0 \\ =\frac{1}{V}[-\cos \varphi]_{0}^{2 \pi} \ldots{ }^{0} \frac{\Lambda}{v}[-1-(-1)] \cdots y_{s}=0 \\ \left.z_{s}=\frac{1}{V} \int \limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int \limits_{0}^{e^{4}} r^{3} d r \int \limits_{0}^{\pi_{2}} \sin \theta \cos \theta d \theta \right\rvert\, \int \limits_{0}^{\pi_{2}} \sin \theta \cos \theta d \theta \\ x=\sin \theta \\ \frac{d x}{d \theta}=\cos \theta \\ =\int \limits_{0}^{1} x \cos \frac{d x}{\cos \theta} \\ \frac{d x}{\cos \theta}=d \theta \\ z_{3}=\frac{1}{V} 2 \pi \frac{R^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ =\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{1} \\ \end{array} \)
substihiere

S2.jpg

Text erkannt:

Volumen cines tealblugl bestimen
\( \left.\frac{1}{2} \int \limits_{V} d V \right\rvert\, r^{2} \sin \theta \)
C) I beringlich 2-Achese
\( \begin{array}{l} =-\int \limits_{V} r^{2} \sin \theta\left(r^{2} \cos ^{2} \varphi \sin ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \varphi \sin ^{2} \theta\right) d r \\ \mid \sin ^{2} \theta \text { anshe. } \\ 1 r^{2} \text { auskl. } \\ \Rightarrow g \int r^{4} \sin ^{3} \theta d V \\ \text { ladditionth. } \\ \text { ansenelu. } \\ \rho(r) \int \limits_{0}^{v} d \int \limits_{-}^{r} \int \limits_{0}^{r} r^{4} d r \int \limits_{0}^{r_{2}} \sin ^{3} \theta d \theta \\ \text { Subgtituiere } x=\cos \theta \\ \rho(r) 2 \pi\left[\frac{e^{5}}{5}\right] \int \limits_{1}^{0}-\sin ^{2} \theta \frac{d x}{\sin \theta} \\ \frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta \\ \frac{-d x}{\sin \theta}=d \theta \\ \frac{8 \pi r^{2}}{2 \pi x^{5}} \frac{2 \pi \cdot 2 \pi}{8} \cdot 3 \\ =\frac{2 M r^{2}}{3} \\ \Rightarrow-\int \limits_{1}^{0} \sin ^{2} \theta d x \quad \left\lvert\, \begin{array}{l} \sin \theta \\ \text { the eorem } \end{array}\right. \\ \begin{array}{l} \text { the eorem } \\ \text { avwerden } \end{array} \\ =-\int \limits_{1}^{0}\left(1-\cos ^{2} \theta\right) d x \quad \mid \cos ^{2} \theta=x^{2} \\ -\left[x-\frac{1}{3} x^{3}\right]_{1}^{0}=-\left(-\left(1-\frac{1}{3}\right)=-\left(-\frac{2}{3}\right)\right. \\ =\frac{2}{3} \\ \end{array} \)

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1 Antwort

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Hallo

zum ersten Zettel: Deine Schreibweise ist verwirrend. du hast ρ(r) vor das Integral gezogen, was falsch ist, wenn man die Rechnung ansieht äst du aber nur die konstanten Anteile rausgezogen. Dann dein dV ist falsch benutzt denn dV=Jacobidet.*drdφdθ

deine Rechnung ist aber dann irgendwie richtig. für M

beim Schwerpunkt sehe ich nicht wo du ρ(r) einsetzt?

Volumen einer Halbkugel muss man wohl nicht ausrechnen, 1/3 r^3π ist falsch, liegt daran dass du θ nur von 0 bis pi/2 laufen lässt und 1/2 schreibst als würdest du die ganze Kugel nehmen.

bei I seh ich wieder nicht wie du ρ verwendest.

lul

Avatar von 32 k

Ich bin mir leider nicht ganz im klaren ob wir einen Fall in der Übung hatten wo roh mit in dem Integral gewesen ist, strenggenommen sei roh, in meinen Augen wie eine konstante zu behandeln bis auf die Variable von der roh Abhängt. Daher zb auch bei a) die Integration über r^2*Jacobidet. Was am Ende zu einem r^4 führt und dies wiederrum nach r integriert ergibt. (r^5)/5, damit liesen sich, mit weiterer Integration alle Teile bis auf M rausstreichen.

Zu b), dass der Schwerpunkt mit dem einhergehenden Dichte sich über den Radus r ändert sei mir klar, es kann auch sein, dass in einer Übungsaufgabe dies so vorkam. Ich wollte nur beim bearbeiten dieser Aufgabe aus einer Altklausur keine meiner Notizen ansehen. Immerhin darf ich das in der Klausur ebenfalls nicht. Ich schau da mal in kürze drüber.

zu c) muss ich mich auch schlau machen über meine alte Notizen.


Danke dir.

Hallo

ja bei a) kannst du ρ=k*r^2 rechnen k=5M/(2πR^5) aber nicht einfach ρ(r) vor das Integral ziehen sondern nur k (was du in Wirklichkeit ja tust

lul

Ja okay, danke zu a), ich schaue genau jetzt in meine Unterlagen und sehe, dass beim Schwerpunkt bestimmen halt roh /M geschrieben worden ist ? Ich müsste doch auch hier dann roh in als konstante* r^2 trennen und r^2 in dem Integral nach dr beachten. X_s und Y_s "erübrigt" sich dies allerdings für Z_s nicht.

Und das Volumen einer Halbkugel ist 1/6.. nicht 1/3.


Wenn ich mich nicht grade verrechnet haben sollte ist der Schwerpunkt in der Z-Ebene bei 5/12 r

Das Volumen einer Vollkugel ist 4π/3r^3

lul

Ich kenne die Gleichung für das Volumen einer Vollkugel, ich frage mich allerdings warum nicht bei meinem Volumenintegral für eine Halbkugel richtig liege. Winkel phi geht einmal komplett rum um die Z-Achse und Theta von der Z-Achse bis zur X-Achse. So hatte man in einer ähnlichen Aufgabe das Volumen einer Halbkugel bestimmt. Ich muss durch die Rechnung nochmals gehen und mir überlegeben ob es Sinn macht eine 1/2 davor zu schreiben. Am Ende Integrier ich ja über Grenzen die ich selbst setze, da brauch ich doch eigentlich kein 1/2...


I= (10Mr^2)/3 ?

Die 1/2 davor ist falsch Theta 90° gibt nur ne Halbkugel Äquator bis Pol

dein I scheint mir viel zu hoch im Vergleich zu Halbkugel ohne rho und Kugelschale es muss zwischen Kugelschale 1/3mr^2 und massive Kugel 1/5mr^2 liegen

lul

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