Aufgabe Gesamtenergie auf Ellipsenbahnen:
Ziel ist es, die Gesamtenergie eines Körpers auf einer Ellipsenbahn herzuleiten.
a) Nach dem 2. Kepler'schen Gesetz überstreicht die Verbindungslinie zur Sonne in einem Zeitintervall \( \mathrm{d} t \) überall den gleichen Flächeninhalt. In Perihel und Aphel werden rechtwinklige Dreiecke überstrichen und es gilt:
\( \frac{1}{2} \cdot r_{\mathrm{P}} \cdot v_{\mathrm{P}} \cdot \mathrm{d} t= \)
b) Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie und ist erhalten. Insbesondere ist sie in Perihel und Aphel gleich gross:
\( \frac{1}{2} m v_{\mathrm{P}}^{2}-G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}}= \)
c) Diese Gleichung enthält bei einer gegebenen Ellipsenbahn die beiden Unbekannten \( v_{\mathrm{P}} \) und \( v_{\mathrm{A}} \). Mithilfe von \( r_{\mathrm{P}} \cdot v_{\mathrm{P}}=r_{\mathrm{A}} \cdot v_{\mathrm{A}} \) aus a) lässt \( \operatorname{sich} v_{\mathrm{A}} \) eliminieren und \( v_{\mathrm{P}}^{2} \) finden. Verwenden Sie \( 2 a=r_{\mathrm{P}}+r_{\mathrm{A}} \) zum Vereinfachen.
\( \begin{array}{l} v_{\mathrm{P}}^{2}-2 G \frac{M}{r_{\mathrm{P}}}= \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow v_{\mathrm{P}}^{2}=G M \cdot \frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{P}}} \cdot \frac{1}{a} \end{array} \)
d) Setzen Sie dieses Ergebnis für \( v_{\mathrm{P}}^{2} \) nun in die Gesamtenergie im Perihel ein.
\( \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} m v_{\mathrm{P}}^{2}-G \frac{m M}{r_{\mathrm{P}}} \\ & = \\ & = \\ & = \\ & = \\ & =-\frac{1}{2} G \frac{m M}{a} \end{aligned} \)
e) Die Gesamtenergie im Perihel entspricht auch der Gesamtenergie in allen Bahnpunkten.
