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Hallo zusammen, dies hier ist meine Aufgabe, aus dem Fach „Theoretische Elektrotechnik“:


Gegeben ist eine homogene Raumladungsdicht \( \rho_{\mathrm{V}} \) in der Gestalt einer Kugel mit dem Radius \( a \), deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Der gesamte Raum hat die Permittivität \( \varepsilon \). Berechnen Sie mit Hilfe von der Poisson-Gleichung bzw. Laplace-Gleichung das Potential \( \phi(\vec{r}) \) für den ganzen Raum mit der Randbedingung \( \phi(r=\infty)=0 \).


Die Musterlösung ist


In der Kugel: \( \phi=-\frac{\rho_{\mathrm{V}}}{6 \varepsilon} r^{2}+\frac{\rho_{\mathrm{V}}}{2 \varepsilon} a^{2} \)

Außerhalb: \( \phi=\frac{a^{3} \rho_{\mathrm{V}}}{3 \varepsilon r} \)


Ich löse für den Raum in der Kugel die Poisson-Gleichung:

blob.png

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Die Lösung ist:


\( \phi_{i}(r)=-\frac{\rho_{v}}{6 \varepsilon} r^{2}-\frac{c_{1}}{r}+c_{2} \)

Wenn ich für den Raum außerhalb der Kugel die Laplace-Gleichung löse, bekomme ich die Lösung

\( \phi_{a}(r)=-\frac{c_{3}}{r} \)

Mit Hilfe der beiden Gleichungen


\( \phi_{i}(a)=\phi_{a}(a) \quad \) und \( \quad \phi_{i}^{\prime}(a)=\phi_{a}^{\prime}(a) \)

erhalte ich zwei Gleichungen für 3 Unbekannte. Auf die korrekte Lösung komme ich nur, wenn ich c1 = 0 setze. Wieso ist c1 = 0 ?

Vielen Dank!

von

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hallo wie kommst du auf c1/r, ich habe c1*r

dann ergibt es sich aus den Randbedingungen.

lul

von 30 k

Hallo lul, vielen Dank für deine Hilfe. Der Term c1/r ist meines Erachtens korrekt. Ich habe oben meinen Rechenweg ergänzt. Somit ist die Frage noch offen.

Ich habe zusammen mit den Unterlagen eines Mitstudenten eine halbwegs schlüssige Antwort gefunden. Φ(0) kann nicht unendlich sein, wie man aus der Anwendung des Coulomb-Gauß-Integrals um den Ursprung herum ablesen kann. Also setzen wir dies als Randbedingung ein. Damit folgt c1 = 0. Diese Antwort ist deshalb nur halbwegs schlüssig, weil man die Aufgabe mit der Poissongleichung löst und dennoch auf das Ergebnis der Lösung über das Coulomb-Gauß-Integral angewiesen ist.

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