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Aufgabe Schwingkreis:

Der Reihenschwingkreis nach Abb.6 mit der Kapazität \( C=0,1 \mu \mathrm{F} \) soll so ausgelegt werden, dass die Resonanzfrequenz \( f_{r}=10 \mathrm{kHz} \) und die Bandbreite \( B=100 \mathrm{~Hz} \) beträgt.

a) Wie groß ist die Güte des Schwingkreises?

b) Welche Werte sind für die Induktivität \( L \) und den Widerstand \( R \) vorzusehen?

c) Wie groß ist die Spannung \( \underline{U}_{R}(t) \) über dem Widerstand bei der Resonanzfrequenz, wenn die Gesamtspannung \( \underline{U}_{0}(t)=5 \mathrm{~V} \cdot \cos (\omega \cdot t) \) beträgt?

Geben Sie bei der Spannung \( \underline{U}_{R}(t) \) auch die entsprechende Kreisfrequenz \( \omega \) an.

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für Resonanzfrequenz , Bandbreite und Güte hattet ihr doch Formeln oder man findet sie im Netz. Warum soll jemand hier da deine Zahlen einsetzen?

Du kannst konkrete Fragen zu einem Punkt stellen der dir unklar ist, aber nicht einfach die ganze Aufgabe.

(Zusatzrat. such die KollegInnen und macht so Aufgaben zusammen, Das hilft mehr als wir hier im forum können)

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a) Wie groß ist die Güte des Schwingkreises?

Die Güte eines Schwingkreises, oft mit \(Q\) bezeichnet, kann über die Formel
\( Q = \frac{f_r}{B} \)
bestimmt werden, wobei \(f_r\) die Resonanzfrequenz und \(B\) die Bandbreite ist. Für den gegebenen Schwingkreis mit \(f_r = 10 \, \text{kHz}\) und \(B = 100 \, \text{Hz}\), ergibt sich die Güte zu
\( Q = \frac{10\,000 \, \text{Hz}}{100 \, \text{Hz}} = 100. \)

b) Welche Werte sind für die Induktivität \(L\) und den Widerstand \(R\) vorzusehen?

Um die erforderlichen Werte für \(L\) und \(R\) zu bestimmen, nutzen wir die Formeln für die Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises und die Güte \(Q\).
Die Resonanzfrequenz eines Reihenschwingkreises wird durch die Formel
\( f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)
beschrieben, wobei \(L\) die Induktivität und \(C\) die Kapazität ist.

Durch Umstellen dieser Formel nach \(L\) erhalten wir
\( L = \frac{1}{(2\pi f_r)^2C}. \)

Setzen wir die gegebenen Werte ein (\(C = 0,1\,\mu\text{F} = 0,1 \times 10^{-6}\,\text{F}\), \(f_r = 10\,000\,\text{Hz}\)):
\( L = \frac{1}{(2\pi \times 10\,000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{(6.2832 \times 10\,000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}}. \)

Das ergibt:
\( L = \frac{1}{39.4784 \times 10^6 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3.94784} \, \text{H} \approx 0,2533 \, \text{H}. \)

Die Güte \(Q\) ist auch definiert als
\( Q = \frac{\omega_r L}{R},\)
wobei \(\omega_r = 2\pi f_r\). Umstellen dieser Formel nach \(R\) ergibt
\( R = \frac{\omega_r L}{Q}. \)

Ersatz von \(\omega_r\) durch \(2\pi f_r\) führt zu
\( R = \frac{2\pi f_r L}{Q}. \)

Einsetzen der entsprechenden Werte (\(f_r = 10\,000\, \text{Hz}\), \(L = 0,2533 \, \text{H}\), \(Q = 100\)):
\( R = \frac{2\pi \times 10\,000 \times 0,2533}{100} \approx \frac{1587 \times 0,2533}{100} \approx 4,02\, \Omega. \)

c) Wie groß ist die Spannung \(\underline{U}_{R}(t)\) über dem Widerstand bei der Resonanzfrequenz, wenn die Gesamtspannung \(\underline{U}_{0}(t)=5 \, \text{V} \cdot \cos (\omega \cdot t)\) beträgt?

Bei der Resonanzfrequenz ist die Spannung über dem Widerstand gleich der Gesamtspannung, da der induktive und der kapazitive Widerstand sich gegenseitig aufheben. Daher ist \(\underline{U}_{R}(t)\) bei der Resonanzfrequenz einfach

\( \underline{U}_{R}(t) = \underline{U}_{0}(t) = 5\,\text{V} \cdot \cos(\omega t). \)

Die Kreisfrequenz \(\omega\) bei der Resonanzfrequenz \(f_r\) ist \(\omega = 2\pi f_r\), also

\( \omega = 2\pi \times 10\,000 = 62.832 \times 10^3\, \text{rad/s}. \)

Demnach ist \(\underline{U}_{R}(t) = 5\,\text{V} \cdot \cos(62.832 \times 10^3\, t)\).
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L ≈ 2,533mH, R≈1,59Ω

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a) Wie groß ist die Güte des Schwingkreises?

Die Güte eines Schwingkreises, oft mit \(Q\) bezeichnet, wird über die Formel
\( Q = \frac{f_r}{B} \)
definiert, wobei \(f_r\) die Resonanzfrequenz und \(B\) die Bandbreite darstellen. Für diesen Schwingkreis, gegeben mit einer Resonanzfrequenz \(f_r = 10 \, \text{kHz}\) und einer Bandbreite \(B = 100 \, \text{Hz}\), berechnet man die Güte wie folgt:
\( Q = \frac{10\,000 \, \text{Hz}}{100 \, \text{Hz}} = 100. \)

b) Welche Werte sind für die Induktivität \(L\) und den Widerstand \(R\) vorzusehen?

Um die Werte für \(L\) und \(R\) zu bestimmen, werden die Formeln für die Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises und für die Güte \(Q\) herangezogen.

Die Resonanzfrequenz eines Reihenschwingkreises wird mittels der Formel
\( f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)
beschrieben. Um \(L\) zu berechnen, stellt man diese Formel um:
\( L = \frac{1}{(2\pi f_r)^2C}. \)

Mit den gegebenen Werten \(C = 0,1\,\mu\text{F} = 0,1 \times 10^{-6}\,\text{F}\) und \(f_r = 10\,000\,\text{Hz}\) erhalten wir:
\( L = \frac{1}{(2\pi \times 10\,000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{(6.2832 \times 10\,000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}}. \)

Das führt zu:
\( L = \frac{1}{39.4784 \times 10^6 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3.94784} \, \text{H} \)

Hier gab es jedoch einen Rechenfehler. Die korrekte Berechnung von \(L\) sollte etwa \(2,533 \, \text{mH}\) ergeben, denn die richtige Rechnung unter Verwendung der gegebenen Werte und unter Korrektur des mathematischen Fehlers ergibt:
\( L = \frac{1}{(2 \pi \times 10^4)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{(4 \pi^2 \times 10^8 \times 0,1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{4 \pi^2 \times 10^2} \, \text{H} \approx 2,533 \times 10^{-3} \, \text{H} \).

Die Güte ist auch durch die Beziehung
\( Q = \frac{\omega_r L}{R} \)
definiert, wobei \(\omega_r = 2\pi f_r\). Die Umformung dieser Gleichung zur Berechnung von \(R\) liefert:
\( R = \frac{\omega_r L}{Q}. \)
Durch Einsetzen von \(\omega_r = 2\pi f_r\) sowie den korrigierten Werten von \(L\) und \(Q\), erhalten wir eine andere Berechnung für \(R\), die ursprünglich angegebene Berechnung ergibt einen Wert von etwa \(4,02 \, \Omega\), aber unter Berücksichtigung des Korrekturhinweises und der richtigen Werte für \(L\) und \(Q\), sollte \(R\) näher an \(1,59 \, \Omega\) liegen.

c) Wie groß ist die Spannung \(\underline{U}_{R}(t)\) über dem Widerstand bei der Resonanzfrequenz, wenn die Gesamtspannung \(\underline{U}_{0}(t)=5 \, \text{V} \cdot \cos (\omega \cdot t)\) beträgt?

Bei Resonanzfrequenz wird die Spannung über dem Widerstand gleich der Gesamtspannung, da der induktive und kapazitive Widerstand sich gegenseitig aufheben. Folglich ist
\(\underline{U}_{R}(t) = \underline{U}_{0}(t) = 5\,\text{V} \cdot \cos(\omega t)\).
Die Kreisfrequenz \(\omega\) bei der Resonanzfrequenz \(f_r\) ist \(\omega = 2\pi f_r\), also
\(\omega = 2\pi \times 10\,000 = 62.832 \times 10^3\, \text{rad/s}\).
Demzufolge lautet \(\underline{U}_{R}(t)\)
\( = 5\,\text{V} \cdot \cos(62.832 \times 10^3\, t)\).

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a) Wie groß ist die Güte des Schwingkreises?

Zur Berechnung der Güte \(Q\) des Schwingkreises nutzen wir die Formel:

\( Q = \frac{f_r}{B} \)

Gegeben sind \(f_r = 10 \, \text{kHz} = 10.000 \, \text{Hz}\) und \(B = 100 \, \text{Hz}\). Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\( Q = \frac{10.000 \, \text{Hz}}{100 \, \text{Hz}} = 100 \)

Die Güte des Schwingkreises beträgt daher 100.

b) Welche Werte sind für die Induktivität \(L\) und den Widerstand \(R\) vorzusehen?

Die Induktivität \(L\) berechnen wir mit der Formel für die Resonanzfrequenz:

\( f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)

Umgeformt nach \(L\) ergibt sich:

\( L = \frac{1}{(2\pi f_r)^2C} \)

Einsetzen der Werte für \(C = 0,1 \mu\text{F} = 0,1 \times 10^{-6}\,\text{F}\) und \(f_r = 10.000\,\text{Hz}\) führt zu:

\( L = \frac{1}{(2\pi \times 10.000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}} \)

\( L = \frac{1}{(2\pi)^2 \times 10^8 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^2} \, \text{H} \approx 2,533 \times 10^{-3} \, \text{H} = 2,533\, \text{mH} \)

Zur Berechnung von \(R\) verwenden wir die Beziehung, die die Güte beschreibt:

\( Q = \frac{\omega_r L}{R} \)

Umstellen nach \(R\) und Einsetzen von \(\omega_r = 2\pi f_r\) ergibt:

\( R = \frac{\omega_r L}{Q} = \frac{2\pi f_r L}{Q} \)

Einsetzen der Werte (\(f_r = 10.000\, \text{Hz}\), \(L = 2,533 \times 10^{-3} \, \text{H}\), \(Q = 100\)):

\( R = \frac{2\pi \times 10.000 \times 2,533 \times 10^{-3}}{100} \)

\( R \approx \frac{2\pi \times 25,33}{100} \approx \frac{159,154}{100} \approx 1,59\, \Omega \)

c) Wie groß ist die Spannung \(\underline{U}_{R}(t)\) über dem Widerstand bei der Resonanzfrequenz, wenn die Gesamtspannung \(\underline{U}_{0}(t)=5 \mathrm{~V} \cdot \cos (\omega \cdot t)\) beträgt?

Bei der Resonanzfrequenz heben sich der induktive und der kapazitive Widerstand gegenseitig auf, sodass über den Widerstand \(R\) die gesamte Spannung \( \underline{U}_{0}(t) \) abfällt. Deshalb ist die Spannung \( \underline{U}_{R}(t) \) bei der Resonanzfrequenz identisch mit \( \underline{U}_{0}(t) \):

\( \underline{U}_{R}(t) = 5\,\text{V} \cdot \cos(\omega t) \)

Die Kreisfrequenz \( \omega \) bei der Resonanzfrequenz \( f_r \) ist:

\( \omega = 2\pi f_r = 2\pi \times 10.000 = 62.832 \times 10^3\, \text{rad/s} \)

Demnach lautet die Spannung über dem Widerstand:

\( \underline{U}_{R}(t) = 5\,\text{V} \cdot \cos(62.832 \times 10^3\, t) \)

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