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Aufgabe:

Eine kleine, zylinderförmige Gummistange (Länge l, Radius r = 5mm) ist senkrecht an der Zimmerdecke befestigt. An ihrem unteren Ende ist eine Kreisscheibe aus Metall festgemacht (Radius = 50mm), und zwar so, dass die Symmetrieachsen der beiden Körper übereinstimmen. Wenn man die Metallscheibe nach unten zieht und dann loslässt, führt sie lineare Schwingungen aus (so wie mit einer Feder). Wenn man die Metallscheibe um ihre Achse verdreht und dann loslässt, führt sie Drehschwingungen aus.

Um wieviel größer ist die Frequenz der linearen Schwingung als jene der Drehschwingung?

Für Gummi ist die Poisson-Zahl ν = 0.50. Masse und Trägheitsmoment der Gummistange seien gegenüber der Metallscheibe vernachlässigbar klein.


Problem/Ansatz:

Ich versuche mich gerade an dem linearen Fall.

Sei die Gummistange also zunächst im Gleichgewicht (relative Längenveränderung ε = 0). Wie bei einem einfachen Feder-Masse-System kann man den Ursprung (x-Achse) dann einfach an die Gleichgewichtsposition der Metallscheibe legen und muss die Gewichtskraft nicht weiter explizit einbeziehen.

Folgende Formeln könnten, denke ich, nützlich sein:

Zugspannung:

$$\sigma = \frac{F_N}{A}$$

Relative Längenänderung:

$$\epsilon = \frac{\Delta l}{l}$$

Hookesches Gesetz für linearen Dehnbereich:

$$\sigma = E \cdot \epsilon$$

Querkontraktion:

$$\nu = - \frac{\Delta d / d}{\Delta l / l}$$

Für die Stauchung gelten ja quasi analog die gleichen Zusammenhänge, wobei die Längenänderung negativ ist.

Generell war jetzt mein Ansatz die Bewegungsgleichung aufzustellen, die vermutlich sehr ähnlich zum ungedämpften harmonischen Oszillator sein wird.

Da die x-Achse nun genau an der Gleichgewichtsposition liegt, kann man ja schreiben:

$$\Delta l = x$$

Dehnt man die Gummistange jetzt zum Beispiel um x > 0 (nach unten) aus mit der Zugkraft FN, sodass der lineare Bereich nicht überschritten wird, hat man nach dem Hookeschen Gesetz

$$\sigma = E \cdot \epsilon \iff \frac{F_N}{A} = E \cdot \frac{x}{l} \iff F_N = \frac{EA}{l} \cdot x$$

Lässt man den Stab nun los, versucht dieser sich mit einer gegengleichen Kraft wieder zusammenzuziehen.

$$F_\mathrm{rücktreibend} = - \frac{EA}{l} \cdot x \tag{1}$$

Die Kraft, mit der gezogen wird, müsste sich ja von der Kreisscheibe auf das untere Ende der Gummistange übertragen, oder? Womit man dann als Zugfläche

$$A = 2 \pi r^2$$

erhält. Wenn A konstant ist, könnte man die DGL (1) ja leicht lösen, um die Schwingfrequenz zu bestimmen, aber irgendwie muss man hier ja noch die Querkontraktion einbringen, woran ich momentan scheitere.

Skizze:

skizze_gummi.png

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