Antwort mit KI erzeugt
Magnetisches Dipolpotential berechnen
Um das magnetische Dipolpotential aus der gegebenen Ausgangslage zu berechnen, müssen wir systematisch vorgehen. Zuerst klären wir die Bedeutung der Symbole und dann entwickeln wir die Ausdrücke für \(e+\) und \(e-\), um darauf aufbauend das magnetische Dipolpotential \(ψ\) herzuleiten.
\(Ψ\) ist das Potential zweier fiktiver magnetischer Monopole mit den Ladungen \(+p\) und \(-p\), die im Abstand \(l\) voneinander entfernt sind. \(e+\) und \(e-\) bezeichnen die Abstände eines allgemeinen Punktes im Raum von diesen beiden Monopolen. \(Ψ\) hängt von diesen Abständen ab.
Der nächste Schritt ist, das Potential \(Ψ\) im Limes \(l \rightarrow 0\) zu vereinfachen, wobei das Dipolmoment \(m\) durch \(m = p \cdot l\) definiert ist. Es wird erwartet, dass das resultierende Potential \(ψ\) die Form \(\psi = \frac{m \cdot cos(θ)}{4\pi r^{2}}\) annimmt.
Entwicklung der Ausdrücke für \(e+\) und \(e-\)
Zunächst betrachten wir die geometrische Situation: Wir haben einen Punkt im Abstand \(r\) zum Mittelpunkt zwischen den beiden Monopolen. \(θ\) ist der Winkel zwischen der Achse, entlang derer die Monopole ausgerichtet sind, und der Linie vom Mittelpunkt dieses Dipols zum betrachteten Punkt.
Folgende Ausdrücke für \(e+\) und \(e-\) können anhand des Kosinussatzes hergeleitet werden:
\(
e_\pm = \sqrt{r^2 \pm l r \cos(θ) + \frac{l^2}{4}}
\)
Zur Vereinfachung, da \(l \ll r\), nutzen wir eine lineare Näherung, um den Wurzelausdruck umzuformen. Der gegebene Ausdruck:
\(
e+ = r \sqrt{1 - \frac{l}{r} \cos(θ) + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{l}{r}\right)^2}
\)
wird angenähert durch:
\(
e+ ≈ r \left(1 - \frac{l \cos(θ)}{2r}\right)
\)
Analog gilt für \(e-\) eine ähnliche Näherung:
\(
e- ≈ r \left(1 + \frac{l \cos(θ)}{2r}\right)
\)
Ableitung des magnetischen Dipolpotentials
Mit den entwickelten Ausdrücken für \(e+\) und \(e-\) sowie \(m = p \cdot l\), setzen wir diese in die Formel für das Potential ein:
\(
Ψ = \frac{1}{4\pi} \left(\frac{p}{e+} - \frac{p}{e-}\right)
\)
Einsetzen von \(e+\) und \(e-\):
\(
ψ = \frac{1}{4\pi} \left(\frac{p}{r(1 - \frac{l \cos(θ)}{2r})} - \frac{p}{r(1 + \frac{l \cos(θ)}{2r})}\right)
\)
Benutze die Vereinfachung \(\frac{1}{1 \pm x} ≈ 1 \mp x\) für kleine \(x\), um den Ausdruck weiter zu vereinfachen:
\(
ψ ≈ \frac{1}{4\pi} \cdot \frac{p}{r} \left[(1 + \frac{l \cos(θ)}{2r}) - (1 - \frac{l \cos(θ)}{2r})\right]
\)
Das vereinfacht sich zu:
\(
ψ = \frac{p \cdot l \cos(θ)}{4\pi r^2}
\)
Da \(m = p \cdot l\), erhalten wir schließlich das gesuchte magnetische Dipolpotential:
\(
ψ = \frac{m \cos(θ)}{4\pi r^2}
\)
Dies entspricht exakt der zu beweisenden Formel.
