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Aufgabe: Ein liegender Zylinder (kanal) Durchmesser 1400mm, zur hälfte geschlossen 700mm mit einer Wand.

der Zylinder ist vor der Wand zur Hälfte gefüllt mit Wasser. Welche Last bzw Druck lastet auf der Wand.

und welchen Enfluss hat die länge des Zylinders ob 1000mm Länge oder 100.000mm Länge?

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Hallo Schwinge,

Es geht also darum die Kraft des Wassers, die es auf eine senkrecht stehende halbkreisförmige Fläche ausübt, zu berechnen. Ganz allgemein ist die Kraft \(F\) die Summe aller Einzelkräfte und da diese infinitisimal klein sind, wird es gleich ein Integral $$F = \int \text d F$$Diese \(\text d F\) sind im wesentlichen vom Wasserdruck abhängig. Also suchen wir uns eine Bereich, wo dieser Druck konstant ist.

Skizze5.png

Das ist die rote Linie gleicher Tiefe in der Tiefe von \(x\). Die Kraft ist Druck \(p\) mal Fläche \(A\). Und die Fläche ist der rote Strich mit der infinitisimal kleinen Höhe \(\text d x\) und der Breite \(b\). Also $$\text d F = p \cdot A = p \cdot b \, \text dx$$

Der Wasserdruck \(p\) ist natürlich von der Tiefe \(x\) abhängig. Und das ist$$p(x) = \rho g x$$Wobei \(\rho \) die Dichte der Wassers ist und \(g\) die Erdbeschleunigung (Stünde der Zylinder auf dem Mond, wäre \(F\) kleiner!). \(b\) ändert sich auch mit \(x\); es wird ja mit wachsende \(x\) augenscheinlich kleiner. \(b\) lässt sich mit dem Phytagoras berechnen. \(b/2\), \(r\) und \(x\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck$$\left( \frac b2 \right)^2 + x^2 = r^2 \implies b = 2 \sqrt{r^2 - x^2}$$ Jetzt alles für \(\text d F\) einsetzen und das Integral vorne anstellen:$$F = \int_{x=0}^r \rho g x \cdot 2 \sqrt{r^2 - x^2} \,\text d x$$Und das \(x\) verläuft von der Wasseroberfläche \(x=0\) bis zum tiefsten Punkt \(x=r\) des Kanals. Und auflösen$$\begin{align} F &= 2\rho g \int_{x=0}^r x \sqrt{r^2-x^2} \,\text d x \\ &= \left. -\frac 23\rho q \left( r^2 - x^2\right)^{\frac 32} \right|_{x=0}^r \\ &= \frac 23 \rho g r^3 \\ &\approx 6540 \frac{\text{kg}}{\text m^2 \text s^2} r^3 \approx 2243 \text N\end{align}$$Bei der Gelegenheit kann man dann auch gleich den Schwerpunkt des Kräftefeldes berechnen. Er liegt natürlich auf der Mittelachse, da das Ganze symmetrisch ist. Allgemein ist die Position \(x_S\) des Schwerpunkt $$x_S = \frac 1F \int x \cdot \text d F$$Das \(F\) und \(\text d F\) ist ja bereits bekannt$$\begin{align} x_S &= \frac 1F  \int_{x=0}^r xp(x)b(x) \,\text d x \\ &= \frac{2 \rho g}{F}  \int_{x=0}^r x^2 \sqrt{r^2-x^2} \,\text d x \\ &= \left. \frac{\rho g}{4F} \left( x (2x^2-r^2) \sqrt{r^2-x^2} + r^4 \arctan\left(\frac x{\sqrt{r^2-x^2}} \right)\right) \right|_{x=0}^r \\ &= \frac { \rho g r^4 \pi}{8F} =  \frac {3 \pi}{16}r  \\&\approx 0,589 \, r \approx 0,412 \, \text m\end{align}$$wenn Du also einen waagerechten Balken planst, der die Fläche fixieren soll, so sollte er sich genau so weit unterhalb der Wasseroberfläche befinden. Ich habe die Position der Kraft \(F\) im Bild oben eingezeichnet.

Noch ein Hinweis zu den Integralen. Das erste sollte man noch mit Hausmitteln lösen können. Ansonsten gibt es dafür Wolfram Alpha - aber das kennst Du sicher schon.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte. Achso - und die Kraft ist genau wie der Druck völlig unabhängig von der Länge des Kanals; siehe auch die Gleichung für den Druck.

Gruß Werner

von 3,7 k

Super vielen Dank für eure Mühe

LG

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Schoneinmal vorab
und welchen Enfluss hat die länge des Zylinders ob 1000mm Länge oder 100.000mm Länge?
Gar keinen.
Ob du den Druck in 10 cm Tiefe in einem Aquarium oder im
Meer mißt. Es ist derselbe. Es ist nur die Höhe der Wassersäule von Belang.

von 6,9 k

Vielleicht habe ich die Frage falsch gestellt.

Es geht um einen Kanal 1400mm Durchmesser den ich mit einer 700mm hohen

Wand absperren möchte. Das Wasser staut sich also maximal 700mm auf.

Ich wollte wissen wie ich die Kraft berechne mit der das Wasser auf die Wand

drückt. (wichtig für die Stärke und Befestigung der Wand)

Gefälle ist so minimal das es nicht zu berücksichtigen ist. Aber die Länge ist doch

etwas relevant oder?

Du willst also nur das Ergebnis wissen und nicht die
theoretische Herleitung ?

??? Der Grund für eine Frage ist das man sich eine Antwort erhofft.

sonst hätte ich in einem solchem Forum wohl nicht um Hilfe gebeten.

Natürlich möchte ich die Herleitung , Formel zum berechnen gern

wissen und nicht nur das Ergebnis da es mich schon interessiert wie

ich das berechnen kann. Auch für künftige Berechnungen.

Bisher konnte mir keiner helfen bei der Berechnung deswegen dachte

ich, ich frage mal Profis.

Ich denke nicht das ich dir gegenüber zu
schroff aufgetreten bin.

Es ist für mich schon arbeitsmäßig ein Unterschied
ob nur das Ergebnis interessiert oder der
ganze Berechnungsweg.

Nach meinen Berechnungen ist die Gesamtkraft
F = 2243 N oder 2.242 kN

Zum Lösungsweg braucht man die Integralrechnung.

Vielen Dank für die Antwort. Nein Schroff hab ich auch nicht behauptet

ich dachte nur ich stelle eine intelligente Frage und bekomme ebenso

auch eine Antwort darauf.

Vielleicht komm ich auch einfach nur dumm rüber, ich weiß auch nicht,

ist wohl mein Problem.


Es interessiert mich schon der Rechenweg dahin und nicht nur das Ergebnis,

allein auf die Kanallänge bezogen, die meiner Meinung nach je länger der

Kanal ist, die Last nicht im gleichen Maße ansteigt wie auf dem ersten Meter.

Hallo Schwinge,

ich rechne es Dir heute Abend vor, ich hoffe das ist noch früh genug ...

auf jeden fall :)

vielen Dank im voraus

1. es bleibt dabei. Die Kanallänge spielt keine Rolle

2.
Die Formel zur Berechnung der Kraft ist

gm-nano-1.JPG

Dies ist beidesmal dieselbe Funktion nur in einer
anderen Schreibweise.
r in meter
Das Ergebnis in Newton.

 
Dann wollen wir einmal sehen was Werner dazu
sagt.

mfg Georg

Schön das Werner mein Ergebnis bestätigt hat.
Wie du dort in der Antwort siehst ist der Rechenweg
nicht ganz so einfach.

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