Dopplereffekt und Schwebung: Geschwindigkeit ausrechnen

Question

Aufgabe:

Der  Bahnhofsvorsteher  eines  kleinen  Bahnhofs  erwartet  zwei  in  entgegengesetzten  Richtungen  durchfahrende  Züge.  Beide  Züge  senden  gleichzeitig  ein  Pfeifsignal  mit  der  Frequenz f = 400Hz aus. Der Bahnhofsvorsteher bemerkt eine Schwebung mit der Frequenz f_S = 3,00 Hz.
Da  er  weiß,  dass  der  eine  Zug  den  Bahnhof  immer  mit  der  konstanten  Geschwindigkeit v₁ =  90,0 km/h passiert,  und  die  Schallgeschwindigkeit c=  340 m/s beträgt, will er nun die Geschwindigkeit des zweiten Zuges berechnen. Bei seiner Rechnung stellt er jedoch fest, dass er nicht entscheiden kann, ob der zweite Zug langsamer oder schneller gefahrenist. Berechnen Sie die beiden möglichen Geschwindigkeiten des zweiten Zuges.

Problem/Ansatz:

Ich versuche, mir die Formel um v₂ herauszufinden zunächst formal herzuleiten, allerdings schaffe ich es nicht, v₂ auf eine Seite der Gleichung zu bekommen, ohne dass andere Störfaktoren dabei wären.

Comments

"Ich versuche, mir die Formel um v2 herauszufinden zunächst formal herzuleiten"

Was hast Du bisher dazu bereits für Ideen ?

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ich hab bisher den Ansatz f_s=|f/(1-v₁/c) - f/(1-v₂/c)|

Das habe ich umgeformt, bis ich auf |v₂-c|=|(fv₂-fv₁)/(f_s-(f_sv₁/c)| kam. Allerdings hatte ich dann das Gefühl, dass ich hier so lange umformen kann wie ich will, ich würde an dem Punkt nicht mehr weiterkommen.

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f_{S}=\frac {f_{G }}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-\frac {f_{G }}{1-{\frac {v_{2}}{c}}} \\
\frac {f_{S}}{f_{G }}=\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-\frac {1}{1-{\frac {v_{2}}{c}}} \\
\frac {f_{S}}{f_{G }}\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)=\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{2}}{c}}} \\
\frac {f_{S}}{f_{G }}\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)=\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-1 \\
\frac {f_{S}}{f_{G }}\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)-\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}=1 \\
\left(\frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}} \right)\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)=1 \\
1-{\frac {v_{2}}{c}}=\frac {1}{ \frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}  } \\
1-\frac {1}{ \frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}  }={\frac {v_{2}}{c}} \\
v_2= c\cdot \left( 1-\frac {1}{ \frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}  }\right) \\

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$$ f_{S}=\frac {f_{G }}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-\frac {f_{G }}{1-{\frac {v_{2}}{c}}} \\ $$

$$\frac {f_{S}}{f_{G }}=\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-\frac {1}{1-{\frac {v_{2}}{c}}} \\ $$

$$ \frac {f_{S}}{f_{G }}\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)=\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{2}}{c}}} \\ $$

$$ \frac {f_{S}}{f_{G }}\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)=\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}-1 \\$$

$$ \frac {f_{S}}{f_{G }}\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)-\frac {1-{\frac {v_{2}}{c}}}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}=1 \\$$

$$\left(\frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}} \right)\cdot \left( 1-{\frac {v_{2}}{c}}\right)=1 \\$$

$$1-{\frac {v_{2}}{c}}=\frac {1}{ \frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}  } \\$$

$$1-\frac {1}{ \frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}  }={\frac {v_{2}}{c}} \\$$

$$v_2= c\cdot \left( 1-\frac {1}{ \frac {f_{S}}{f_{G }} -\frac {1}{1-{\frac {v_{1}}{c}}}  }\right) \\$$

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wie wird denn das -1 (4. Zeile) zu einer 1 (5. Zeile)?

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da hab ich wohl Mist gebaut ...

Answer 1

Hallo

 2 Schritte: 1. bestimme aus der  Sendefrequenz des Zuges 1 und seinem v die am Bahnhof empfangene Frequenz.

vom anderen Zug  empfängt er dann  eine um 6Hz höhere oder tiefere Frequenz. daraus bestimme  die 2 möglichen v2.

Gruß lul

Comments

müsste die vom anderen Zug empfangene Frequenz nicht um 3 Hz verschieden sein?

da ja f_s=|f₁-f₂|.