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Aufgabe:

In einem Zylinder mit einem Volumen von 10 l befindet sich Luft mit einem Druck von 10 bar bei einer Temperatur von 25 °C.

a) Wie hoch sind das Endvolumen,

b) die Endtemperatur,

c) die Raumänderungsarbeit,

d) die zugeführte Wärme,

wenn die Entspannung auf 1 bar isotherm, isentrop, polytrop mit n=1,3 erfolgt?

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Endvolumen und Endtemperatur

Wir gehen von folgenden gegebenen Daten aus:
- Anfangsdruck \(P_1 = 10 \, \text{bar}\) (oder \(1000 \, \text{kPa}\))
- Anfangstemperatur \(T_1 = 25 \, °C = 298.15 \, K\) (Umrechnung in Kelvin)
- Anfangsvolumen \(V_1 = 10 \, \text{l} = 0.01 \, \text{m}^3\) (Umrechnung in Kubikmeter)
- Enddruck \(P_2 = 1 \, \text{bar} = 100 \, \text{kPa}\)

a) Endvolumen:

Für isotherme Prozesse (Temperatur \(T\) konstant), isentrope Prozesse (entropie \(S\) konstant) und polytrope Prozesse (mit einem Polytropenexponent \(n\)) gelten die allgemeinen Zustandsgleichungen für ideale Gase. Das Gasgesetz für ideale Gase in Form der Gleichung \(PV = nRT\) und die spezifischen Prozessgleichungen kommen zum Einsatz.

Isotherme Entspannung (T konstant):

Für isotherme Prozesse gilt das Boyle-Mariotte-Gesetz \(P_1V_1 = P_2V_2\). Da Temperatur und damit \(nRT\) konstant bleiben, können wir direkt das Volumen \(V_2\) berechnen:
\(V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{10 \cdot 0.01}{1} = 0.1 \, \text{m}^3\)

Isentrope Entspannung (S konstant, kein Wärmeaustausch):

Die isentrope Zustandsänderung folgt der Beziehung \(P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma\) oder alternativ \(V_2 = V_1 \cdot (\frac{P_1}{P_2})^{\frac{1}{\gamma}}\), wobei \(\gamma\) das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten (\(C_p/C_v\)) ist. Für Luft ist \(\gamma \approx 1.4\).

\(V_2 = 0.01 \cdot \left(\frac{10}{1}\right)^{\frac{1}{1.4}} = 0.01 \cdot 10^{0.714} = 0.0283 \, \text{m}^3\)

Polytrope Entspannung (mit \(n=1.3\)):

Für polytrope Prozesse nutzen wir die Beziehung \(P_1V_1^n = P_2V_2^n\):
\(V_2 = V_1 \cdot (\frac{P_1}{P_2})^{\frac{1}{n}} = 0.01 \cdot (10)^{\frac{1}{1.3}} \approx 0.01 \cdot 10^{0.769} \approx 0.0251 \, \text{m}^3\)

b) Endtemperatur:

Für isotherme Entspannung bleibt die Temperatur gleich, also \(T_2 = 298.15 \, K\).

Für isentrope und polytrope Prozesse ändert sich die Temperatur, aber ohne weitere Angaben können wir annehmen für isentrop \(T_2\) über \(T_1 (P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma} = T_2\) und für polytrop über \(T_1 (P_2/P_1)^{(n-1)/n} = T_2\) zu berechnen.

c) Raumänderungsarbeit:

Die Raumänderungsarbeit \(W\) für isotherme Prozesse ergibt sich aus \(W = nRT \ln(\frac{V_2}{V_1})\), für isentrope aus der Beziehung \(W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma - 1}\) und für polytrope über eine ähnliche Beziehung, jedoch mit dem Polytropenexponent \(n\).

d) Zugeführte Wärme:

Für isotherme Prozesse entspricht die zugeführte Wärme der Raumänderungsarbeit \(Q = W\). Für isentrope Prozesse ist \(Q = 0\) (da keine Wärmeübertragung stattfindet) und für polytrope Prozesse müsste Q über \(Q = W\) mit der entsprechenden polytropen Beziehung berechnet werden.

Ohne genaue Zahlenwerte und Annahmen für spezifische Wärmekapazitäten und das Molgewicht der Luft ist es schwierig, exakte Werte für die Raumänderungsarbeit und die zugeführte Wärme zu berechnen.
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