Hallo Ingenieur (schon fertig oder noch im Studium?),
ich unterstelle, dass die Anordnung der Schrauben in einem Raster geschieht. Die Schraube mit der kleinsten X- und Y-Koordinate habe die Position \(\vec{r}_0\). Dann hat eine beliebigen Schraube an der \(i\)'ten Position in X-Richtung und der \(j\)'ten Position in Y-Richtung das polare Moment von
$$I_p(i,j) = \left( \vec{r}_0 + \begin{pmatrix} i \cdot \Delta x\\j \cdot \Delta y \end{pmatrix} \right)^2$$ Für die weitere Rechnung sollte man noch wissen, das
$$\sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{n}{2}(n-1)$$ und $$\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{n}{6}(n-1)(2n-1)$$ ist. Das polare Trägheitsmoment \(I_p\) aller Schrauben ist dann die Summe über alle \(I_p(i,j)\) - also:
$$\begin{aligned} I_p=& \sum_{j=0}^{n_y-1} \sum_{i=0}^{n_x-1} \left( \vec{r}_0 + \begin{pmatrix} i \cdot \Delta x\\j \cdot \Delta y \end{pmatrix}\right)^2 \\ =&\sum_{j=0}^{n_y-1} \sum_{i=0}^{n_x-1} \left( (r_x + i \cdot \Delta x)^2 + (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& \sum_{j=0}^{n_y-1}\left(n_x r_x^2 + 2r_x \Delta x \sum_{i=0}^{n_x-1} i + \Delta x^2 \sum_{i=0}^{n_x-1} i^2 + n_x (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& \sum_{j=0}^{n_y-1}\left(n_x r_x^2 + 2r_x \Delta x \frac{n_x}{2}(n_x-1) + \Delta x^2 \frac{n_x}{6}(n_x-1)(2n_x-1) + n_x (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& n_x \left( n_y\left( r_x^2 + r_x \Delta x (n_x-1) + \Delta x^2 \frac{1}{6}(n_x-1)(2n_x-1)\right) + \sum_{j=0}^{n_y-1} (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ & \quad + n_x \sum_{j=0}^{n_y-1} (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \\ =& n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ & \quad + n_x \left( n_y r_y^2 + 2r_y \Delta y \sum_{j=0}^{n_y-1} j + \Delta y^2 \sum_{j=0}^{n_y-1} j^2\right) \\ =& n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ &\quad + n_x \left( n_y r_y^2 + 2r_y \Delta y \frac{n_y}{2}(n_y-1) + \Delta y^2 \frac{n_y}{6}(n_y-1)(2n_y-1)\right) \\ =& n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ &\quad + n \left( r_y^2 + \Delta y (n_y-1)(r_y + \Delta y \frac{1}{6}(2n_y-1)) \right) \\ \end{aligned}$$ Da das Moment auf die Mitte der (symmetrischen) Anordnung bezogen ist, ist das \(\vec{r}_0\) $$\vec{r}_0 = \begin{pmatrix} -\frac{n_x -1}{2} \Delta x\\ -\frac{n_y -1}{2} \Delta y \end{pmatrix}$$
Das setze ich frühestens morgen Abend in den obigen Ausdruck ein, dann schauen wir mal, ob der von Dir vorgegebene Ausdruck raus kommt ...
Gruß Werner
