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Problem: Berechnung des polaren Trägheitsmomentes bei der Anordnung von Schrauben.

Es gibt für das polare Trägheitsmoment die allgemeine Formel

Ip = ∑(x² + y²)   , welche für alle Schraubenbilder gilt.

Weiterhin gibt es die Formel (für beliebig viele n_x und n_z, jedoch nur für regelmäßige Abstände)

Ip = (n/12) * ((n_x²-1)*Δ_x²+(n_z²-1)*Δz²)

mit

n = Anzahl der Schrauben

n_x = Anzahl der Spalten            dx = horizontaler Abstand der Spalten

n_y = Anzahl der Reihen             dy= vertikaler Abstand der Reihen

Kann mir jemand helfen die Umformung der allgemeinen Formel zu machen?

Grüße

Ein verzweifelter Ingenieur

von

Wie sieht die Anordnung aus?

1 Antwort

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Hallo Ingenieur (schon fertig oder noch im Studium?),

ich unterstelle, dass die Anordnung der Schrauben in einem Raster geschieht. Die Schraube mit der kleinsten X- und Y-Koordinate habe die Position \(\vec{r}_0\). Dann hat eine beliebigen Schraube an der \(i\)'ten Position in X-Richtung und der \(j\)'ten Position in Y-Richtung das polare Moment von

$$I_p(i,j) = \left( \vec{r}_0 + \begin{pmatrix} i \cdot \Delta x\\j \cdot \Delta y \end{pmatrix} \right)^2$$ Für die weitere Rechnung sollte man noch wissen, das

$$\sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{n}{2}(n-1)$$ und $$\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{n}{6}(n-1)(2n-1)$$ ist. Das polare Trägheitsmoment \(I_p\) aller Schrauben ist dann die Summe über alle \(I_p(i,j)\) - also:

$$\begin{align} I_p=& \sum_{j=0}^{n_y-1} \sum_{i=0}^{n_x-1} \left( \vec{r}_0 + \begin{pmatrix} i \cdot \Delta x\\j \cdot \Delta y \end{pmatrix}\right)^2 \\ =&\sum_{j=0}^{n_y-1} \sum_{i=0}^{n_x-1} \left( (r_x + i \cdot \Delta x)^2 + (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& \sum_{j=0}^{n_y-1}\left(n_x r_x^2 + 2r_x \Delta x \sum_{i=0}^{n_x-1} i + \Delta x^2  \sum_{i=0}^{n_x-1} i^2 + n_x (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& \sum_{j=0}^{n_y-1}\left(n_x r_x^2 + 2r_x \Delta x \frac{n_x}{2}(n_x-1) + \Delta x^2  \frac{n_x}{6}(n_x-1)(2n_x-1) + n_x (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =& n_x \left( n_y\left( r_x^2 + r_x \Delta x (n_x-1) + \Delta x^2  \frac{1}{6}(n_x-1)(2n_x-1)\right) + \sum_{j=0}^{n_y-1} (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \right) \\ =&  n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x  + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ & \quad + n_x \sum_{j=0}^{n_y-1} (r_y + j \cdot \Delta y)^2 \\ =&  n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x  + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ & \quad + n_x \left( n_y r_y^2 + 2r_y \Delta y \sum_{j=0}^{n_y-1} j + \Delta y^2  \sum_{j=0}^{n_y-1} j^2\right) \\ =&  n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x  + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ &\quad + n_x \left( n_y r_y^2 + 2r_y \Delta y \frac{n_y}{2}(n_y-1) + \Delta y^2  \frac{n_y}{6}(n_y-1)(2n_y-1)\right) \\ =&  n\left( r_x^2 + \Delta x (n_x-1)\left(r_x  + \frac{\Delta x}{6}(2n_x-1)\right)\right) \\ &\quad + n \left( r_y^2 +  \Delta y (n_y-1)(r_y + \Delta y  \frac{1}{6}(2n_y-1)) \right) \\ \end{align}$$ Da das Moment auf die Mitte der (symmetrischen) Anordnung bezogen ist, ist das \(\vec{r}_0\) $$\vec{r}_0 = \begin{pmatrix} -\frac{n_x -1}{2} \Delta x\\ -\frac{n_y -1}{2} \Delta y \end{pmatrix}$$

Das setze ich frühestens morgen Abend in den obigen Ausdruck ein, dann schauen wir mal, ob der von Dir vorgegebene Ausdruck raus kommt ...

Gruß Werner

von 4,3 k

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