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Wenn a ∝ b und a ∝ c, dann gilt a ∝ b·c

Das kann man beweisen und das ist mir soweit auch klar, aber wie rechtfertigt man, dass hier (insbesondere in der Physik)  ausschließlich die Multiplikation benutzt wird ?

Es könnte doch auch a ∝ b + c gelten oder beispielsweise a ∝ bc

Ich habe versucht zu dem Thema "Rechenregeln für Proportionalität" irgendwo genauere Erklärungen zu finden, aber ich hatte damit bisher noch keinen Erfolg.


Gefragt von

Lies mal die Definition hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Proportionalität

und beachte, dass der Proportionalitätsfaktor nicht beide Male gleich sein muss.

Nun muss du doch an den Beweis denken, um zu verstehen, ob es einen allgemeinen Beweis für deine Alternative geben könnte.

 a ∝ b und a ∝ c, dann gilt a ∝ b+

a = mb      -----> b= a/m

a = nc       -------> c= a/n

m und n müssen nicht gleich sein.

b+c = a/m + a/n = (an + am)/(nm) = a ( n+m)/(nm)

(nm)/(n+m) (b+c) = a.

Das würde also gehen, wenn m, n und m+n ≠ 0.

Bei m= -n gibt's aber ein Problem.

Warum, was physikalisch interessant ist, kann dir vielleicht dein Physikbuch verraten.

Das bedeutet, ein praktischer Grund gegen die Addition könnte sein, dass man beim Rechnen mit Proportionalitäten eine Null unter dem Bruchstrich vermeiden möchte. Aber das ist ja nur ein spezielles Beispiel für eine alternative Operation. Müsste man nicht allgemein zeigen, dass jede andere Operation außer Multiplikation problematisch ist ?

Mein  Problem mit "Physikbüchern" ist ja eben, dass dort die Formel mit der Multiplikation unmotiviert vom Himmel fällt und nicht weiter erklärt wird.

Meine Frage an die Mathematik ist also: gibt es ein allgemeines mathematisches Argument dafür, mit Proportionalitäten  genau so zu rechnen und nicht anders. (Es könnte ja auch sein, dass es nur eine physikalische "Tradition" ist).

Gibt es überhaupt so etwas wie ein "Kalkül für Proportionalitäten" ?

Bist du dir sicher, dass die Physiker so rechnen, wie du das angibst?

Wenn a ∝ b und a ∝ c, dann gilt a ∝ b·c  

würde ja heissen

Weil a ∝ a und a ∝ a, dann gilt a ∝ a^2.

Beispiel:

Grundgleichung der Mechanik: F = m·a

Wird gefolgert aus F∝m bei festem a und F∝ a bei festem m

Ok. Das wird dann aber umgekehrt benutzt.

Nicht "Wenn a ∝ b und a ∝ c, dann gilt a ∝ b·c   "

Sondern: "Wenn a ∝ b*c, dann a ∝ b und a ∝ c  " 

Das ist sinnvoller.

Das ginge natürlich nicht mit einem PLUS

Aus a  ∝ b + c  kannst du nichts über b und c allein folgern.

Das heißt, der Physiker formuliert das mathematische Modell F = m·a aus einer genialen Vermutung heraus und macht es empirisch plausibel indem er zeigt, dass alle seine Messreihen die Bedingungen F∝m bei festem a und F∝ a bei festem m erfüllen ?

Wenn also für beliebige physikalische Größen a,b,c  gilt: a ∝ b bei festem c und  a ∝b bei festem c, dann gibt es keine mathematischen Regeln, aus denen zwingend hervorgeht, dass  a = b·c  ein korrektes mathematisches Modell für  das zu beschreibende physikalische System ist ?

 

ij130 interessierte sich für  + nicht für mal.

 a = b·c mit einem '=' kann da nicht rauskommen.

Warte mal, ob dir da noch ein Physiker deine Frage beantwortet.

Die Multiplikation am Ende ergibt sich daraus, dass die Proportionalität selbst eine multiplikative Eigenschaft ist.
Wenn die Größe a von zwei (oder mehr) voneinander unabhängigen Größen b und c beeinflusst wird und zwar so, dass a sowohl zu b als auch zu c proportional ist, dann kann folgendermaßen geschlussfolgert werden :
Aus a ~ b folgt, dass a = k·b ist, wobei die Konstante k noch von c abhängig sein kann, aber unabhängig von b ist. Schreibweise daher : kc . Aus a ~ c folgt, dass a = k·c ist, wobei die Konstante k noch von b abhängig sein kann, aber unabhängig von c ist. Schreibweise daher : kb .
Es ist also  a = kc·b = kb·c .  Umsortieren ergibt  kc / c  =  kb / b .  Die linke Seite dieser Gleichung ist unabhängig von b, die rechte unabhängig von c. Beide Seiten sind also unabhängig von b und c gleich einer Konstanten K.

kc / c = K  liefert kc  = c·K  und in  a = kc·b  eingesetzt schließlich  a  =  K·b·c , also die Proportionalität von a zu dem Produkt b·c.

Beispiel :  Der Preis, den mich eine Autofahrt von A nach B kostet, hängt sowohl vom Verbrauch meines Wagens (Liter pro Kilometer)  als auch vom Benzinpreis (Euro pro Liter) ab. Beide Größen sind unabhängig voneinander und die Kosten sind proportional zu jeder dieser beiden Größen. Der Proportionalitätsfaktor K in obiger Rechnung ist hier die Strecke (Kilometer) zwischen A und B.

Ich finde diese Diskussion hier ist eine der besten zu diesem Thema, die es im ganzen :-) WWW gibt.

Leider finden sich in den Physikbüchern, die ich kenne, oft unterschiedliche Ansätze und so richtig ausführlich wird nirgends erklärt wie man auf den Zusammenhang  F = m·a kommt (er wird immer alles verkürzt), sodass genau die Fragen aus diesem Thread offen bleiben.

Meine eigenen Gedanken (d.h. nicht durch Literatur oder einem Physiker bestätigt) zu diesem Thema sind folgende:

"Fundamentale" Gesetze wie F = m * a kann man nicht herleiten, sondern nur aus der Erfahrung bzw.  mit Experimenten begründen. So steht das auch in einem Physikbuch.
Im folgenden möchte ich die zwei Experiment erwähnen, die meiner Meinung nach, am hilfreichsten sind, um auf F = m * a zu kommen.

Am besten gefällt mir die Versuchsanordnung, wo ein Wagen auf einem Tisch steht und daran ist eine Schnur befestigt. Die Schnur läuft über eine Umlenktrolle, die am Tischrand befestigt ist.
Das andere Ende der Schnur hängt lose in der Luft und an diesem Ende kann man Gewichte anhängen. Außerdem kann man Gewichte auf den Wagen stellen (so ähnlich ist
der Aufbau des Experimentes auch bei LEIFI Physik (http://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsanderung/versuche#lightbox=/themenbereiche/kraft-und-bewegungsaenderung/lb/kraftgesetz-von-newton-versuchsaufbau), aber das Umschlichten der Gewichte vom Wagen zum anderen Ende der Schnur finde ich nicht so gut.
Mit den Erklärungen bei LEIFI Physik war ich insofern nicht so glücklich, weil dort kommt in den Tabellen mit den Messwerten schon die Kraft vor oder wird berechnet, obwohl wir den Zusammenhang F = m * a noch gar nicht kennen. Eigentlich hat man ja noch gar keine Vorstellung was Kraft genau ist und vor allem welche Einheit die Kraft hat, während man diese Experimente durchführt.

Ein User hat weiter oben geschrieben: "Das heißt, der Physiker formuliert das mathematische Modell F = m·a aus einer genialen Vermutung heraus und macht es empirisch plausibel indem er zeigt, dass alle seine Messreihen die Bedingungen F∝m bei festem a und F∝ a bei festem m erfüllen ?"
Ich denke, dass dieser Vermutung eben zwei sehr wichtige Experimente vorangingen, die Formal also nicht nur auf "Genialität" beruht und vor allem aus Proportionalität bzw. aus der indirekten Proportionalität von Größen auf die Formel F=m*a geschlossen wird.

Diese zwei Experimente reichen aus, um auf F=m*a zu kommen, aber ich denke, wenn wir vor Newton gelebt hätten, hätten wir auch noch andere Experiment durchgeführt, um Erkenntnisse über die Kraft zu gewinnen, die aber uns nichts gebracht hätten außer der Erkenntnis, dass wir falsche Überlegungen angestellt haben.
Was wir messen können in den Experimenten sind meiner Meinung nach die Masse und die Beschleunigung, aber nicht die Kraft (denn die kennen wir ja gar nicht wirklich, da wollen wir ja erst Erkenntnisse gewinnen).

Versuch 1
Versuch 1 zeigt uns, dass die Kraft mit der Beschleunigung zusammenhängt. Aufgrund dieser Erkenntnis schauen wir uns die Beschleunigung auch im Versuch 2 näher an.
Ziehen wir stärker an der Schnur, d.h. wir erhöhen die Kraft, indem wir immer schwerere Gewichte an die Schnur hängen. So lässt sich durch Beobachten und Messen feststellen, dass bei höherer Kraft (also mehr Gewichten), der Wagen schneller beschleunigt wird und Messungen ergeben, dass doppeltes Zuggewicht eine doppelte Beschleunigung ergibt und so weiter, hier bin ich mir allerdings unsicher). Dass die Kraft von der Beschleunigung abhängt und nicht von der Geschwindigkeit ist ja nicht so trivial (man denke an Aristoteles, der erst von Galileo diesbezüglich widerlegt wurde).

Versuch 2
Um schwerere Dinge zu bewegen, braucht man mehr Kraft, sagt uns unsere Erfahrung. Machen wir  also den Wagen schwerer, wir lassen aber die Gewichte am anderen Ende der Schnur gleich, d.h. die Kraft wird NICHT verändert in diesem Experiment.. Durch Beobachten und Messen stellen wir fest, dass gilt a1*m1=a2*m2=a3*m3=W (immer der gleiche konstante Wert W) bei drei verschiedenen Messungen. Somit ist die Beschleunigung a indirekt proportional zur Masse m des Wagens.

Aus beiden Versuchen folgern wir, dass die Kraft von der Masse und der Beschleunigung abhängt. Weitere Größen, die die Kraft beeinflussen, konnten wir nicht finden (siehe Thema Fehlversuche weiter oben). NUR aufgrund des Versuchs 2, wo wir gesehen haben, dass bei GLEICHER Kraft gilt a1*m1=a2*m2=a3*m3 stellen wir den Zusammenhang Kraft=W=m*a auf, also F=m*a (weil mi*ai immer den gleichen Wert W bei UNVERÄNDERTER Kraft (Gewichte an der Schnur werden nicht verändert)) ergibt.

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