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Zwei kleine Metallkugeln mit gleicher Masse m und gleicher Ladung Q hängen an zwei isolierten Fäden. Leiten sie die Formel für den Abstand d her, den die Kugeln im Gleichgewichtszustand voneinander haben.

Bis jetzt habe ich:

(Q*Q*cos α)/(d*d*4pi*ε0) = m * g * sin α

und sin α = (0,5*d)/l

Jedoch habe ich Probleme bei der Umformung mit cos αbild.png

von

Hallo

du musst  cos(x)=√(1-sin2(x) ) verwenden

Gruß lul

Vom Duplikat:

Titel: Gleichung nach d auflösen: q^{4} * l^{2} = d^{6} * y + 0,25d^{2} * q^{4}

Stichworte: exponent,potenz,gleichung,auflösen

Gleichung mit mehreren Variablen und verschiedenen Exponenten nach d auflösen:

Wie kann ich folgenden Gleichung nach d auflösen?

q^4 * l^2 = d^6 * y + 0,25d^2 * q^4

b7a3049644c10ea177bad60b818b865f.png

Das ist die Lösung laut WolframAlpha. Sicher, dass die Aufgabe so lautet?

Mhh, vielleicht habe ich auch vorher schon Fehler bei der Aufgabe gemacht, ich schau sie mir nochmal genauer an.

EDIT: Habe den Kommentar von Anton in eine Antwort umgewandelt. Falls du doch noch diese Gleichung von Hand auflösen musst, melde dich nochmals.

Zwei kleine Metallkugeln mit gleicher Masse m und gleicher Ladung Q hängen an zwei isolierten Fäden. Leiten sie die Formel für den Abstand d her, den die Kugeln im Gleichgewichtszustand voneinander haben.bild.png

Mein Ansatz:

bild2.png

FE cos (a) = FG sin(a)  | cos(a) und gerade noch | : FG

FE / FG = tan(a)

Ich hoffe, das hilft.

Ausserdem

d/2 = l * sin(a) .

Ansonsten besser Frage und Antwortversuch hier einstellen: https://www.nanolounge.de/ask

Danke schonmal,

dadurch hab ich die Gleichung nochmal ein Sück vereinfacht bekommen, jedoch weiß nicht, wie ich die Wurzel wegbekomme:

a = 0,5 * d^3 : √(1-(0,5*d/l))

√(1-(0,5*d/l)) = 0.5 * d^3 / a | quadrieren
1 - ( 0.5 * d/l)  = 0.25 * d^6 / a^2
0.25 * d^6 / a^2 + 0.5 * d/l = 1
d ^6 * 0.25/a^2  -  d * 0.5 / l = 1

Im Physikforum haben wir eigentlich mehr Physik erwartet. Einen Trick beim Ansatz?

Kannst du mal schauen, was hier schief läuft? https://www.mathelounge.de/535467/gleichung-nach-d-auflosen-q-4-l-2-d-6-y-0-25d-2-q-4?show=535500#a535500

Stimmt die Physik? Kann man anders ansetzen? Sonst bleibt nur ein zielloses Herumrechnen.

Man könnte das d folgendermassen eliminieren.

sin α = (0,5*d)/l

2l sin (α) = d

(Q*Q*cos α)/(d*d*4pi*ε0) = m * g * sin α

(Q*Q*cos α)= m * g * sin α * (d*d*4pi*ε0)

(Q*Q*cos( α))= m * g * sin (α) *2l sin (α) * 2l sin (α) (*4pi*ε0)

Aber das bringt nicht wirklich viel. Oder?

Was ist hier noch unbekannt?

1 Antwort

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Hallo,

betrachte die Kugel rechts, sie befindet sich in Ruhe, wenn die Gesamtkraft parallel zum Faden verläuft.

Dann findet sich der Winkel alpha auch im Kräfteparallelogramm wieder.

Dann gilt:

$$tan(\alpha)=\frac{F_{el}}{F_G}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0d^2mg}\\$$

Den Tangens kannst du auch über die Position der Kugel ausrechnen:

$$tan(\alpha)=\frac{d}{2\sqrt{l^2-(\frac{d}{2})^2}}\\$$

Gleichsetzen  und mit d^2 multiplizieren ergibt:

$$\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0mg}=\frac{d^3}{2\sqrt{l^2-(\frac{d}{2})^2}}\\$$

Das nach d auflösen ist schwierig, da eine Gleichung dritten Grades entsteht.

Da die elektrische Kraft viel kleiner als die Gewichtskraft ist, kann man die Kleinwinkelnäherung

$$tan(\alpha)\approx sin(\alpha)=\frac{d}{2l}$$

nutzen.

Dann ergäbe sich als Näherung:


$$\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0d^2mg}=\frac{d}{2l}\\(\frac{Q^2l}{2\pi\epsilon_0mg})^{1/3}=d $$

von 2,4 k

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